《4.4 生活中的优化问题举例》导学案

《《4.4 生活中的优化问题举例》导学案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、《4.4生活中的优化问题举例》导学案导数在实际问题中的应用　生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．【问题导思】　　优化问题实际上就是寻求最佳方案或策略，而实际问题中的利润、用料、效率等问题常能用函数关系式表达，那么优化问题与函数的什么性质联系密切？【提示】　函数的最大、最小值．解决优化问题的基本思路上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程．面积体积的最值问题　用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器．先在四角分别截掉一个大小相同的小正方形，然后把四边翻折90°，再焊接而成．则该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？【

2、思路探究】　【自主解答】　设容器的高为xcm，容器的容积为V(x)cm3，则V(x)＝x(90－2x)(48－2x)＝4x3－276x2＋4320x(0＜x＜24)．所以V′(x)＝12x2－552x＋4320＝12(x2－46x＋360)＝12(x－10)(x－36)．令V′(x)＝0，得x＝10或x＝36(舍去)．当0＜x＜10时，V′(x)＞0，即V(x)是增加的；当10＜x＜24时，V′(x)＜0，即V(x)是减少的．因此，在定义域(0,24)内，函数V(x)只有当x＝10时取得最大值，其最大值为V(10)＝19600(cm3)．因此当容器的高为10cm时，容器的容积最大，最大容积

3、为19600cm3.1．求几何体面积或体积的最值问题，关键是分析几何体的几何特征，根据题意选择适当的量建立面积或体积的函数，然后再用导数求最值．2．实际问题中函数定义域确定的方法：(1)根据图形确定定义域，如本例中长方体的长宽、高都大于零．(2)根据问题的实际意义确定定义域．如人数必须为整数，销售单价大于成本价、销售量大于零等．　将一段长为100cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，则如何截可使正方形与圆的面积之和最小？【解】　设弯成圆的一段铁丝长为xcm，则另一段长为(100－x)cm，正方形的边长为a＝cm，圆的半径r＝cm.记正方形与圆的面积之和为S，∴S＝π()2＋()2

4、＝x2－x＋625(0＜x＜100)．又S′＝x－，令S′＝0，则x＝.∵S是关于x的二次函数，由其性质可知当x＝cm时，面积之和最小．用料最省、费用最低问题图3－4－1　某单位用木料制作如图3－4－1所示的框架，框架的下部是边长分别为x、y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8m2，问x、y分别为多少时用料最省？(精确到0.001m)【思路探究】　(1)根据题意，你能找出x、y之间的关系式吗？能把框架的周长表示成x的函数吗？(2)你能确定上函数的定义域并用导数求出最小值吗？【自主解答】　依题意，有xy＋·x·＝8，所以y＝＝－(0＜x＜4)，于是框架用料长度为

5、l＝2x＋2y＋2()＝(＋)x＋.l′＝＋－.令l′＝0，即＋－＝0，解得x1＝8－4，x2＝4－8(舍去)．当0＜x＜8－4时，l′＜0；当8－4＜x＜4时，l′＞0，所以当x＝8－4时，l取得最小值．此时，x＝8－4≈2.343m，y≈2.828m.即当x为2.343m，y为2.828m时，用料最省．1．本题是用料最省问题，此种类型也可以用不等式解决，但有时运算量较大，用导数解决较为合理．2．用料最省、费用最低问题出现的形式多与几何体有关，解题时根据题意明确哪一项指标最省(往往要从几何体的面积、体积入手)，将这一指标表示为自变量x的函数，利用导数或其他方法求出最值，但一定要注意自变量

6、的取值范围．　某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房，经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝)【解】　设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，则f(x)＝(560＋48x)＋＝560＋48x＋(x≥10，x∈N*)，f′(x)＝48－，令f′(x)＝0得x＝15，当x＞15时，f′(x)＞0；当0＜x＜15时，f′(x)＜0，因此当x＝15时，f(x)取最小值f

7、(15)＝2000.故为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层．利润最大问题　某生产饮料的企业拟投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内，预计年销量Q(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为Q＝(x≥0)，已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品需再投入32万元．若每件售价为“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和．(1)试将利润y(万元)表示为年广告费x(万元)