《1.2 余弦定理》教学案3

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1、1.2余弦定理第1课时《余弦定理(1)》教学案(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能(1)通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题；(2)能够运用余弦定理理解解决一些与测量和几何计算有关的实际问题；(3)通过三角函数、余弦定理、向量数量积等知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一．2.过程与方法利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．3．情感、态度与价值观(1)培

2、养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；(2)通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系来理解事物之间的普遍联系与辩证统一．●重点、难点重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用．难点：向量方法证明余弦定理．为了突出重点、分解难点，可引导学生把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角．再由边长的几种求法引出向量(向量的模就是线段的长度)．教学方案设计(教师用书独具)●教学建议1．本节课教学时应始终注意培养学生的问题意识．课题引

3、入中提出在三角形中已知两边及夹角时，如何解三角形．随着问题的解决而引出本节研究的余弦定理，然后再通过向量知识给予证明，引起学生对应用向量知识解决问题的兴趣，同时感受向量法证明余弦定理的简便之处．2．在运用向量的方法证明余弦定理的同时，还应注意使学生体会三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识之间的联系．●教学流程课前自主导学(对应学生用书第6页)课标解读1.了解向量法证明余弦定理的过程．(难点)2．掌握余弦定理，会用余弦定理解决一些简单的三角形问题．(重点)知识1余弦定理【问题导思】　△ABC中，AC＝2，BC＝3

4、，C＝60°.1．能否直接利用正弦定理求AB？【提示】　不能．2．能否利用平面向量求边AB？怎么求？【提示】　能．因＝＋，∴

5、

6、2＝

7、

8、2＋

9、

10、2＋2·＝

11、

12、2＋

13、

14、2－2

15、

16、

17、

18、cos∠ACB＝4＋9－2×2×3cos60°＝7.∴

19、

20、＝.3．根据问题2的推导方法，能不能用b，c，A表示a？【提示】　能．1．余弦定理(1)三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.(2)余弦

21、定理也可以写成如下形式：cosA＝，cosB＝，cosC＝.2．余弦定理的应用利用余弦定理可以解决以下两类解斜三角形的问题：(1)已知三边，求三个角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边，进而求出其他两角.课堂互动探究类型1已知三角形三边，解三角形例1　已知△ABC的三边长为a＝3，b＝4，c＝，求△ABC的最大内角．【思路探究】　判断最大内角→利用余弦定理求余弦→由余弦求角【自主解答】　∵c＞a，c＞b，∴角C最大．∵cosC＝＝＝－，∴C＝120°，∴△ABC的最大内角为120°.规律方法1．已知三角形三边求三

22、内角，应用的是余弦定理的变形形式，本例中“求最大内角”，应依据“大角对大边”确定．2．应用余弦定理求三角形内角时，与利用正弦定理有所不同，由于y＝cosx在(0，π)内单调，因此角由余弦值惟一确定，不需要分类讨论．变式训练△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶7，则这个三角形的最大内角为________．【解析】　∵sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶7，∴a∶b∶c＝3∶5∶7，∴角C为最大内角，且cosC＝＝＝－，∴C＝120°.【答案】　120°类型2已知两边及其夹角，解三角形例2　在△ABC

23、中，a＝2，b＝2，C＝15°，解此三角形．【思路探究】　15°＝45°－30°→求cos15°，sin15°→余弦定理求c→正弦定理求A→求角B【自主解答】　cos15°＝cos(45°－30°)＝，sin15°＝.由余弦定理知c2＝a2＋b2－2abcosC＝4＋8－2(＋)＝8－4，∴c＝＝－.由正弦定理得sinA＝＝，∴A＝30°或A＝150°.∵b＞a，∴B＞A.∴A＝30°，B＝180°－(A＋C)＝135°.规律方法1．本例解法不只一个，求出边长c后，也可利用余弦定理求角A，避免角的取舍．2．已知两边

24、及其夹角，三角形惟一确定，不存在解的个数的讨论．变式训练在△ABC中，已知a＝2，c＝＋，B＝45°，求b及A.【解】　由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝(2)2＋(＋)2－2×(＋)×2×cos45°＝8，∴b＝2.下面用两种方法求A.法一　由余弦定理，得cosA＝＝＝，∴A＝60°.法二　由正弦定理，得sinA＝sinB＝sin45°＝，∵