数与式（一）

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1、第一章有理数在小学时我们学习了整数、小数、分数还有负数．在本章中我们将重新系统认识这些数，探讨这些不同的数之间的区别与联系．我们将引入一种新的数——有理数(rationalnumber)并进行重点讨论，学习与有理数相关的重要概念、性质以及有理数的加减乘除和乘方运算．有理数作为人类很早就系统研究的一类数，在日常生活和生产科研等诸多领域都有基础性的作用．§1.1负数一个小学生的练习册上有这样一道题：？小明在做这道题时认为“减不动”．他翻看答案发现是100，原来是题目中的“”错印成“”了．但是这道印错的题目却引起了小明的思考：的答案究竟是多少呢

2、？减法是我们已经熟知的基本运算：被减数减去减数等于差．小学阶段接触过的减法，绝大部分是被减数大于减数的．偶尔，我们也会遇到“减不动”的情况，例如：.有经验的同学知道，加减法交换运算顺序结果不变．于是我们可以从后向前计算，求出的值，就是上面算式的答案．但是，不是每次都能利用这种技巧，我们还是会遇到类似“等于多少”这样的问题．要回答这个问题，就不得不使用负数（negativenumber）．我们知道，减法有一个性质：被减数和减数同时减少一个数，差不变．例如，我们将被减数和减数都减少，就得到，差还是30．类似地，如果被减数是33，减数是67，我

3、们将被减数和减数都减少33，得出．的结果是一个比0还要小34的负数，记为，读作负三十四．147一般地，负数是比零还小的数．一个负数比零小多少，就是负多少．现在，我们能回答小明思考的问题了吗？在生活中，我们经常使用负数．请回答下面几个问题：1.在02年世界杯中，中国队先后输给了哥斯达黎加队，输给了巴西队，输给了土耳其队．如果用净胜球来表示一个球队进球数与失球数的差，那么中国队这三场比赛的净胜球数是多少？2.2010年冬季北京地区的最低气温比0℃还低19℃，那么这一年北京地区的最低气温是多少？3.小明的母亲有一张信用卡，月初时信用卡内的余额是

4、元．在这个月里，小明母亲用这张卡刷卡消费了8600元，那么月末时，信用卡内的余额是多少？在第一个问题中，中国队进球数是0，失球数是9，进球数比失球数少9，所以净胜球数为；第二个问题中，北京市2010年的最低气温，比0℃还低19℃，是零下19℃，常常记为℃；第三个问题中，小明母亲的信用卡余额为元．这三个问题的答案都是负数，并且都是负整数．数字前的“”，是这些数的符号，读作“负号”．类似地，我们也可以在分数与小数前面加负号来表示负分数与负小数，例如，，，…，等．一般地，我们用数字前面的符号来表示这个数的正负．符号是“”（这里读作“正号”）的数

5、是正数（positivenumber），符号是“”的数是负数．习惯上，正数前的“”略去不写.比如，，，，，…就是，，，，….显然，正数都比0大.147“”前面可以写正号也可以写负号，但是“”既不是正数也不是负数．0是正数与负数的分界.除“”以外，如果一个数前面没写符号，那么这是一个正数．“”和正数统称非负数．例1(1)在天气预报中，如果表示零上12℃，那么零下9℃怎样表示？(2)在记录海拔高度时，如果用表示珠穆朗玛峰海拔高度为8844m，那么马里亚纳海沟深度为11034m该怎样表示？(3)在某公司的账单中，如果用表示该月收入款额为1300

6、万，那么该月支出款额为500万该怎样表示？解：(1)零下9℃记作℃；(2)马里亚纳海沟深度为11034m记作m；(3)该月支出款额为500万记作.提升：我们常常用正数和负数表示一些意义相反的量.例2下列各数中，哪些是正数，哪些是负数？，，，，，，，，．分析：不要以为只有带了“”号的数才是正数，比如，虽然没带“”号，也是正数；也不要以为只要带了“”号的数就是正数，比如，因为“”既不是正数也不是负数；同理，也不要以为只要带了“”号的数就是负数，比如．解：正数有，，，；负数有，，．提升：正数前的“”可以省略不写；而负数前的“”不可以省略；“”前

7、面可以写正号也可以写负号也可以省略不写．例3我校初一一区共有6个班，每个班的标准人数为40人.超过40人的记为正，不足40人的记为负.6个班的人数分别表示为，，，，，，则整个初一一区的总人数是多少？解：6个班的人数分别为，，，，，147，于是，整个初一一区的总人数为（人）．问题：你还能想出更简单的方法吗？解法2：6个班的人数与标准人数（40人）之差的和为：（人），所以，整个初一一区的总人数为（人）．提升：由例3可以看出，正、负数有时候只是相对于某个“基准”而言的，比如本例中的“基准”就是40人．由解法二可知，这种表示方法往往会简化我们的计

8、算．思考：(1)引入了负数后，“0”除了表示没有之外，是否还有其它的意义？(2)你学过哪些数，这些数可以怎样分类？各类数之间有怎样的包含关系？(3)“不是正数的数一定是负数，不是负数的数一定是