解答题专项训练——解析几何二

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1、如皋市第一中学2009-2010学年高三数学教案解答题专项训练——解析几何二1.我们知道，判断直线与圆的位置关系可以用圆心到直线的距离进行判别，那么直线与椭圆的位置关系有类似的判别方法吗？请同学们进行研究并完成下面问题：（1）设F1、F2是椭圆的两个焦点，点F1、F2到直线的距离分别为d1、d2，试求d1·d2的值，并判断直线L与椭圆M的位置关系（2）设F1、F2是椭圆的两个焦点，点F1、F2到直线（m、n不同时为0）的距离分别为d1、d2，且直线L与椭圆M相切，试求d1·d2的值（3）试写出一个能判断直线与椭圆的位置关系的充要条件，并证明（4）将（

2、3）中得出的结论类比到其它曲线，请同学们给出自己研究的有关结论（不必证明）2.已知：点P与点F（2，0）的距离比它到直线＋4＝-13-如皋市第一中学2009-2010学年高三数学教案0的距离小2，若记点P的轨迹为曲线C。（1）求曲线C的方程。（2）若直线L与曲线C相交于A、B两点，且OA⊥OB。求证：直线L过定点，并求出该定点的坐标。（3）试利用所学圆锥曲线知识参照（2）设计一个与直线过定点有关的数学问题，并解答所提问题。3.已知等轴双曲线的两个焦点、在直线上，线段-13-如皋市第一中学2009-2010学年高三数学教案的中点是坐标原点，且双曲线经过

3、点．（1）若已知下列所给的三个方程中有一个是等轴双曲线的方程：①；②；③．请确定哪个是等轴双曲线的方程，并求出此双曲线的实轴长；（2）现要在等轴双曲线上选一处建一座码头，向、两地转运货物．经测算，从到、从到修建公路的费用都是每单位长度万元，则码头应建在何处，才能使修建两条公路的总费用最低？（3）如图，函数的图像也是双曲线，请尝试研究此双曲线的性质，你能得到哪些结论？（本小题将按所得到的双曲线性质的数量和质量酌情给分）4.如图，已知椭圆的焦点和上顶点分别为、、-13-如皋市第一中学2009-2010学年高三数学教案，我们称为椭圆的特征三角形.如果两个椭

4、圆的特征三角形是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，且三角形的相似比即为椭圆的相似比.（1）已知椭圆和，判断与是否相似，如果相似则求出与的相似比，若不相似请说明理由；（2）已知直线,与椭圆相似且半短轴长为的椭圆的方程，在椭圆上是否存在两点、关于直线对称，若存在，则求出函数的解析式.（3）根据与椭圆相似且半短轴长为的椭圆的方程，提出你认为有价值的相似椭圆之间的三种性质（不需证明）；-13-如皋市第一中学2009-2010学年高三数学教案解答题专项训练——解析几何二答案1.我们知道，判断直线与圆的位置关系可以用圆心到直线的距离进行判别，那么直线与椭圆的

5、位置关系有类似的判别方法吗？请同学们进行研究并完成下面问题（1）设F1、F2是椭圆的两个焦点，点F1、F2到直线的距离分别为d1、d2，试求d1·d2的值，并判断直线L与椭圆M的位置关系（2）设F1、F2是椭圆的两个焦点，点F1、F2到直线（m、n不同时为0）的距离分别为d1、d2，且直线L与椭圆M相切，试求d1·d2的值（3）试写出一个能判断直线与椭圆的位置关系的充要条件，并证明（4）将（3）中得出的结论类比到其它曲线，请同学们给出自己研究的有关结论（不必证明）解：（1）；………………2分联立方程；…………3分与椭圆M相交…………4分（2）联立方程

6、组消去-13-如皋市第一中学2009-2010学年高三数学教案（3）设F1、F2是椭圆的两个焦点，点F1、F2到直线的距离分别为d1、d2，且F1、F2在直线L的同侧那么直线L与椭圆相交的充要条件为：；直线L与椭圆M相切的充要条件为：；直线L与椭圆M相离的充要条件为：　……14分证明：由（2）得，直线L与椭圆M相交命题得证（写出其他的充要条件仅得2分，未指出“F1、F2在直线L的同侧”得3分）（第20题）（4）可以类比到双曲线：设F1、F2是双曲线的两个焦点，点F1、F2到直线距离分别为d1、d2，且F1、F2在直线L的同侧。那么直线L与双曲线相交的

7、充要条件为：；直线L与双曲线M相切的充要条件为：；直线L与双曲线M-13-如皋市第一中学2009-2010学年高三数学教案相离的充要条件为：……………20分（写出其他的充要条件仅得2分，未指出“F1、F2在直线L的同侧”得3分）2.已知：点P与点F（2，0）的距离比它到直线＋4＝0的距离小2，若记点P的轨迹为曲线C。（1）求曲线C的方程。（2）若直线L与曲线C相交于A、B两点，且OA⊥OB。求证：直线L过定点，并求出该定点的坐标。（3）试利用所学圆锥曲线知识参照（2）设计一个与直线过定点有关的数学问题，并解答所提问题。（1）解法（A）：点P与点F（2

8、，0）的距离比它到直线＋4＝0的距离小2，所以点P与点F（2，0）的距离与它到直线＋2＝0的距离相等。---