《 2.5　夹角的计算 》课件

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1、《2.5　夹角的计算》课件重点难点点拨2知能自主梳理3学习方法指导4思路方法技巧5探索拓研创新6名师辩误作答7课堂巩固训练8知能目标解读1知能目标解读重点难点点拨本节重点：异面直线所成的角、线面角、二面角与向量夹角的关系．本节难点：如何用直线的方向向量和平面的法向量来表达线面角和二面角．知能自主梳理〈s1，s2〉π－〈s1，s2〉

2、cos〈s1，s2〉

3、〈n1，n2〉π－〈n1，n2〉

4、cos〈n1，n2〉

5、

6、cos〈n，a〉

7、学习方法指导4．由于两条直线所成的角，线面角都是锐角或直角，因此可直接通过绝对值来表达，故可直接求出，而二面角的范围是[0，π]

8、，有时比较难判断二面角是锐角还是钝角，因为不能仅仅由法向量夹角余弦的正负来判断，故这是求二面角的难点．5．异面直线夹角与向量夹角的差异根据异面直线的定义得两条异面直线的夹角为锐角或直角，而向量夹角的范围为[0，π]．所以从范围上讲，这两个角并不一致，但却有着相等或互补的关系，所以它们的余弦值相等或互为相反数(向量夹角为0和π时除外)．思路方法技巧异面直线所成的角[点评](1)向量法求异面直线所成的角的特点是程序化，即建坐标系，设点，求向量，考查数量积．(2)方法二是求两异面直线所成的角的一般方法：通常是平移变异面直线为相交直线，然后解三角形．在求两条直线

9、所成的角时，容易忽略了两直线所成角的范围．用方向向量所成的角表示异面直线所成角的大小时，若向量夹角为锐角(或直角)，则等于异面直线所成的角；若向量夹角为钝角，则它的补角等于异面直线所成的角．[答案]C(1)证明：DE⊥平面ACD；(2)求二面角B－AD－E的大小．求二面角的大小[点评]本题考查空间中线面关系的判定、空间角的求法．在判断空间中直线位置关系时，常用勾股定理逆定理来证明线线垂直；求二面角的平面角是高考重点，可用空间向量来解决．还有面积法、异面直线法，作三垂线定理法等要灵活应用．(1)证明：平面POD⊥平面PAC；(2)求二面角B－PA－C的余弦

10、值．[解析]解法1：(1)连接OC，因为OA＝OC，D是AC的中点，所以AC⊥OD.又PO⊥底面⊙O，AC底面⊙O，所以AC⊥PO，因为OD，PO是平面POD内的两条相交直线，所以AC⊥平面POD，而AC平面PAC，所以平面POD⊥平面PAC.[点评]先求出两个平面的法向量，再利用向量夹角公式求角，则该角或它的补角就等于二面角的平面角．一般用坐标运算进行，求完后要结合题意来判断求出的二面角是它的补角还是该角．(1)证明：AB⊥A1C；(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB＝2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．直线与平面的夹角[

11、解析](1)取AB中点O，连接CO，A1B，A1O，∵AB＝AA1，∠BAA1＝60°，∴△BAA1是正三角形，∴A1O⊥AB，∵CA＝CB，∴CO⊥AB，∵CO∩A1O＝O，∴AB⊥平面COA1，∴AB⊥A1C.如图，在三棱锥P－ABC中，∠APB＝90°，∠PAB＝60°，AB＝BC＝CA，平面PAB⊥平面ABC.(1)求直线PC与平面ABC所成的角的大小的正切值；(2)求二面角B－AP－C的大小的正切值．[解析]解法一：(1)设AB的中点为D，AD的中点为O，连结PO、CO、CD.由已知，△PAD为等边三角形．所以PO⊥AD.解法二：(1)设AB的

12、中点为D，作PO⊥AB于点O，连结CD.因为平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AD，所以PO⊥平面ABC.所以PO⊥CD.由AB＝BC＝CA，知CD⊥AB.设E为AC中点，则EO∥CD，从而OE⊥PO，OE⊥AB.如图，以O为坐标原点，OB、OE、OP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系O－xyz.探索拓研创新综合应用(1)当BD的长为多少时，三棱锥A－BCD的体积最大；(2)当三棱锥A－BCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，试在棱CD上确定一点N，使得EN⊥BM，并求EN与平面BMN所成角的大小．[解析](1)解

13、法1：在如图1所示的△ABC中，设BD＝x(0

14、DP，所以EN⊥BF.因为MF⊥平面BCD，又EN⊂面BCD，所以MF⊥EN.又