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《高中数学第二章夹角的计算2.5.1直线间的夹角2.5.2平面间的夹角课件.pptx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.5.1直线间的夹角2.5.2平面间的夹角一二思考辨析一、直线间的夹角一二思考辨析【做一做1】设直线l1的方向向量为s1=(1,1,1),直线l2的方向向量为s2=(-2,2,-2),则l1,l2夹角的余弦值cosθ=.3.利用直线的方向向量求两条直线的夹角时,要注意两条直线的方向向量所成角与两条直线的夹角的关系,这两者不一定相等,还可能互补.一二思考辨析二、平面间的夹角一二思考辨析3.两个平面的夹角与其法向量所成角不一定相等,还可能互补.一二思考辨析【做一做2】已知平面π1的法向量n1=(1,-1,3),平面π2的法向量n
2、2=(-1,0,-1),则这两个平面夹角的余弦值为.解析:n1=(1,-1,3),n2=(-1,0,-1),一二思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.(1)两条异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等.()(3)平面间夹角的大小就是这两个平面的法向量的夹角.()××××探究一探究二思想方法直线间的夹角【例1】如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求异面直线BA1和AC的夹角.探究一探究二思想方法探究一探究二思想方法解法二以D为原点,DA,DC,DD1所在的直线为x轴、
3、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),A1(a,0,a).探究一探究二思想方法反思感悟求异面直线的夹角,用向量法比较简单,若用基向量求解,则必须选好空间的一组基向量,若用坐标系求解,一定要将每个点的坐标写正确.探究一探究二思想方法变式训练1如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱CD,CC1的中点,则异面直线A1M与DN所成的角的大小是.∴异面直线A1M与DN所成的角为90°.答案:90°探究一探究二思想方法平面间的夹角【例2】等边三角形ABC的边长为4
4、,CD是AB边上的高,E,F分别是AC和BC边上的中点(如图①),现将△ABC沿CD翻折,使平面ACD⊥平面BCD(如图②).求平面ABD与平面EFD夹角的余弦值.探究一探究二思想方法解:由已知CD⊥AD,CD⊥BD,∴∠ADB就是平面ACD与平面BCD的夹角的平面角,∴AD⊥BD.以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(0,0,2),B(2,0,0),C(0,2,0),∵E,F分别是AC,BC的中点,探究一探究二思想方法反思感悟利用向量方法求平面间夹角的大小时,多采用法向量法,即求出两个面的法向量,然
5、后通过法向量的夹角来得到平面间夹角的大小,但利用这种方法求解时,要注意结合图形观察分析,确定平面间夹角是锐角还是钝角,不能将两个法向量的夹角与平面间夹角的大小完全等同起来.探究一探究二思想方法变式训练2如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点,求平面AA1D与平面A1DB夹角的余弦值.解:如图,取BC的中点O,连接AO.∵△ABC是等边三角形,∴AO⊥BC.∵在正三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC⊥平面BCC1B1,∴AO⊥平面BCC1B1.取B1C1的中点为O1,以O为原点,以直线OB,OO
6、1,OA为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,探究一探究二思想方法设平面A1AD的一个法向量为n=(x,y,z),探究一探究二思想方法函数与方程思想利用空间向量的坐标运算解决已知夹角的问题时,常需要建立方程求解,或利用函数求最值.【典例】如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,AA1=AB=AC=1,AB⊥AC,M,N分别是CC1,BC的中点,点P在直线A1B1上,且A1P=λA1B1.问:是否存在点P,使得平面PMN与平面ABC的夹角为30°?若存在,试确定点P的位置;若不存在,请说明理由.探究一探究二思想方法
7、解:以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,令x=3,得y=1+2λ,z=2-2λ,∴n=(3,1+2λ,2-2λ).又AA1⊥平面ABC,探究一探究二思想方法化简得4λ2+10λ+13=0.(*)∵Δ=100-4×4×13=-108<0,∴方程(*)无解,∴不存在点P使得平面PMN与平面ABC的夹角为30°.方法点睛利用向量法解决有关夹角的存在性问题时,常先假设存在,然后根据条件建立方程(组),根据方程(组)解的情况,以及已知条件的限制得出结论.探究一探究二思想方法变式训练在正三棱柱ABC-A1B1C1中,所有棱的长度都
8、是2,M是BC边的中点.试问:侧棱CC1上是否存在一点N,使得异面直线AB1和MN所成的角等于45°?解:以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.因为所有棱的长都是2,探究一探究二思想方法假设侧棱CC1上存在一点N(0,2,m)(0≤m≤2),使得异面直线AB1
