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《《3.4 反证法》课件》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、《3.4反证法》课件1.了解反证法是间接证明的一种重要的方法.2.理解反证法的思考过程与特点，并会用反证法证明数学问题.1.本课重点是反证法的思考过程与特点.2.本课难点是反证法的综合应用.1.反证法的概念在证明数学命题时，先假定命题结论的_____成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相_____，或与命题中的已知条件相_____，或与假定相_____，从而说明命题结论的_____不可能成立.由此断定命题的结论成立，这种证明方法叫反证法.反面矛盾矛盾矛盾反面2.反证法证题的三个步骤(1)反设→作出否定_____的假设；(2)推理→进行推理，导出___
2、__；(3)结论→否定_____，肯定_____.结论矛盾假设结论1.用反证法证明命题“若p则q”时，为什么﹁ｑ假，q就真？提示：在证明数学命题时，要证明的结论要么正确，要么错误，二者必居其一，所以命题结论q的反面﹁ｑ错误时，q一定正确.2.反证法解题的实质是什么？提示：用反证法解题的实质就是否定结论导出矛盾，从而证明原命题正确.3.用反证法证明命题“如果a＞b，那么”时，假设的内容应是_______.【解析】与的关系有三种情况：和所以“”的反设应为“或”即“”.答案：对反证法概念的理解(1)反证法不是直接去证明结论，而是先否定结论，在否定结论的基础上，运用演绎推
3、理，导出矛盾，从而肯定结论的真实性.(2)反证法中的“反设”是应用反证法的第一步，也是关键的一步.“反设”的结论将是下一步“归谬”的一个已知条件，“反设”是否正确、全面，将直接影响下一步的证明.做好“反设”应正确分清题设和结论,对结论实施正确的否定,对结论否定后，找出其所有的分类情况.(3)反证法的“归谬”是反证法的核心，其含义是：从命题结论的假设(即把“反设”作为一个新的已知条件)及原命题的条件出发，引用一系列论据进行正确推理，推出与已知条件、定义、定理、公理等相矛盾的结果.用反证法证明否定性命题【技法点拨】用反证法证明否定性命题的适用类型结论中含有“不”、“不
4、是”、“不可能”、“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法.【典例训练】1.否定“自然数a,b,c中恰有一个偶数”时，正确的反设为_________.2.设a,b,c都是小于1的正数，求证：(1-a)·b,(1-b)·c,(1-c)·a三个数不可能同时大于.【解析】1.恰有一个偶数的否定有两种情况：其一是无偶数(全为奇数)；其二是至少有两个偶数.答案：a,b,c中都是奇数或至少有两个偶数2.解题流程:反设推理结论【互动探究】将题2改为“x,y,z∈(0，2)，求证：x(2-y)，y(2-z)，z(2-x)不可能都
5、大于1”该如何证明？【解题指南】此类问题的常用方法是考虑问题的反面，即“不都”的反面为“都”，可用反证法来处理.【证明】假设x(2-y)＞1且y(2-z)＞1且z(2-x)＞1均成立，则三式相乘有：xyz(2-x)(2-y)(2-z)＞1①由于0＜x＜2，所以0＜x(2-x)≤同理0＜y(2-y)≤1,0＜z(2-z)≤1，三式相乘得0＜xyz(2-x)(2-y)(2-z)≤1②②与①矛盾，故假设不成立.∴x(2-y),y(2-z),z(2-x)不可能都大于1.【想一想】求解本题2的关键是什么？另外求解1时常会出现什么错误？提示：(1)求解本题2的关键是反设后利用
6、基本不等式推出矛盾，说明假设错误，从而肯定原命题正确.(2)求解本题1时常出现反设为“a,b,c全为奇数”的错误.【变式训练】设{an},{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn=an+bn.证明：数列{cn}不是等比数列.【解题指南】本命题含有“不是”否定词，可考虑采用反证法.【证明】假设{cn}为等比数列，则当n≥2时，(an+bn)2=(an-1+bn-1)·(an+1+bn+1)，故设{an},{bn}的公比分别为p,q(p≠q).因为所以所以因为当p≠q时，或，与矛盾，所以{cn}不是等比数列.用反证法证明唯一性命题【技法点拨】巧用反证法证明唯一性命题(
7、1)当证明结论以“有且只有”，“当且仅当”，“唯一存在”，“只有一个”等形式出现的命题时，由于反设结论易于推出矛盾，故常用反证法证明.(2)用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法.用反证法证题时，如果欲证明的命题的反面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以；若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断结论成立.【典例训练】1.已知a与b是异面直线，求证：过a且平行于b的平面只有一个.2.已知：一点A和平面α，求证：经过点A只能有一条直线和平面α垂直.【证明】1.如图，假设经过直线a且平行于直线b的平面有两个，分别为α
8、和β，在直
