《3.4 反证法》课件2

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1、《3.4反　证　法》课件典例探究学案2巩固提高学案3自主预习学案1自主预习学案1．了解反证法是间接证明的一种基本方法；了解反证法的思考过程、特点．2．感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用．重点：反证法概念的理解以及反证法的解题步骤．难点：应用反证法解决问题．思维导航我们在立体几何证题中曾经使用过反证法，那么反证法的定义，反证法的原理，用反证法证题的注意事项是怎样的呢？反证法新知导学1．反证法的定义一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出______，因此说明假设______，从而证明了原命题______，这

2、样的证明方法叫做反证法．反证法是间接证明的一种基本方法．2．反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与_________矛盾，或与_____矛盾，或与_____________________、事实矛盾等．矛盾错误成立已知条件假设定义、公理、定理3．反证法的适用对象作为一种间接证明方法，反证法尤其适合证明以下几类数学问题：(1)直接证明需分多种情况的；(2)结论本身是以否定形式出现的一类命题——否定性命题；(3)关于唯一性、存在性的命题；(4)______以“至多”、“至少”等形式出现的

3、命题；(5)条件与结论联系不够明显，直接由条件推结论的线索不够清晰，_______的反面是比原结论更具体、更容易研究的命题．结论结论牛刀小试1．(2014·山东理，4)用反证法证明命题“设a、b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是()A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根[答案]A[解析]至少有一个实根的否定为：没有实根．[答案]C3．(2013·华池一中高二期中)用反证法证明

4、某命题时，对其结论：“自然数a、b、c中恰有一个偶数”正确的反设为()A．a、b、c都是奇数B．a、b、c都是偶数C．a、b、c中至少有两个偶数D．a、b、c中至少有两个偶数或都是奇数[答案]D[解析]“自然数a、b、c中恰有一个偶数”即a、b、c中有两奇一偶，故其反面应为都是奇数或两偶一奇或都是偶数，故选D.4.如图所示，在△ABC中，AB>AC，AD为BC边上的高，AM是BC边上的中线，求证：点M不在线段CD上．[解析]假设点M在线段CD上，则BD

5、，所以AB2＝BD2＋AD2AC矛盾，故假设错误．所以点M不在线段CD上．典例探究学案[分析]直接证明直线与平面相交比较困难，故可考虑用反证法，注意该命题的反面情形不止一种，需一一驳倒，才能推出命题结论正确．用反证法证明直接证明不易入手的问题[解析]不妨设直线a与平面α相交，b与a平行，从而要证b也与平面α相交．假设b不与平面α相交，则必有下面两种情况：(1)b在平面α内．由a∥b，a⊄平面α，得a∥平面α，与题设矛盾．(2)b∥平面

6、α.则平面α内有直线b′，使b∥b′.而a∥b，故a∥b′，因为a⊄平面α，所以a∥平面α，这也与题设矛盾．综上所述，b与平面α只能相交．[方法规律总结]用反证法证明数学命题的步骤第一步：审题，分清命题的条件和结论；第二步：反设，做出与命题结论相矛盾的假设；第三步：归谬，由假设出发，应用演绎推理方法，推出矛盾的结果；第四步：下结论，断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明了命题为真．平面上有四个点，没有三点共线．证明以每三点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形．[证明]假设以每三点为

7、顶点的四个三角形都是锐角三角形，记这四个点为A、B、C、D.考虑△ABC，则有点D在△ABC之内或之外两种情况．(1)如果点D在△ABC之内(图1)，根据假设以D为顶点的三个角都是锐角，其和小于270°，这与一个圆周角等于360°矛盾．(2)如果点D在△ABC之外(图2)，根据假设∠BAD、∠B、∠BCD、∠D都小于90°，这和四边形内角之和等于360°矛盾．综上所述，原结论成立．[分析]本题中，含有“至少存在一个”，可考虑使用反证法．用反证法证明“至多”、“至少”类命题[方法规律总结]1.当命题中出现“至少……”、“

8、至多……”、“不都……”、“都不……”、“没有……”、“唯一”等指示性词语时，宜用反证法．2．用反证法证题，必须准确写出命题的否定，把命题所包含的所有可能情形找全，范围既不缩小，也不扩大．常用反设词如下：结论词反设词结论词反设词至少有一个一个也没有对所有x成立存在某个x0不成立至多有一个至少有两个对任意x不成立存在某个x0成立至少