《3　反证法》课件

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1、《3反证法》课件第一章知能目标解读1知能自主梳理2学习方法指导3思路方法技巧4探索延拓创新5易错辨误警示6课堂巩固训练7知能目标解读了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点．本节重点：反证法概念的理解以及反证法的解题步骤．本节难点：应用反证法解决问题．知能自主梳理在证明数学命题时，要证明的结论要么正确，要么错误．二者必居其一，我们可以先假定_____________成立，在这个前提下，若推出的结果与______________________矛盾，或与____________________相矛盾，或与_________

2、相矛盾，从而断定____________________不可能成立，由此断定命题的结论成立，这种证明方法叫作反证法．反证法的证题步骤是：(1)作出____________的假设；(2)进行推理，导出____________；(3)否定____________肯定____________．命题的反面定义、公理、定理命题中的已知条件假定命题结论的反面否定结论矛盾假设结论学习方法指导1．反证法证明数学命题的四个步骤第一步：分清命题的条件和结论；第二步：做出与命题结论相矛盾的假设；第三步：由假设出发，应用演绎推理方法，推出矛盾的结果；第四步：断定产生矛

3、盾结果的原因，在于开始所做的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明了命题为真．常见的主要矛盾有：(1)与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论相矛盾；(2)与假设矛盾；(3)与公认的简单事实矛盾．2．适宜用反证法证明的数学命题(1)结论本身是以否定形式出现的一类命题；(2)关于唯一性、存在性的命题；(3)结论是以“至多”“至少”等形式出现的命题；(4)结论的反面比原结论更具体、更容易研究的命题；(5)一些基本命题、定理．3．用反证法证明不等式，常用的否定形式有：“≥”的反面为“<”；“≤”的反面为“>”；“>”的反面为“≤”；“<”的反

4、面为“≥”；“≠”的反面为“＝”；“＝”的反面为“≠”或“>及<”．4．一些常见的“结论词”与“反设词”原结论词反设词原结论词反设词至少有一个一个也没有对所有x成立存在某个x不成立至多有一个至少有两个对任意x不成立存在某个x成立至少有n个至多有n－1个p或q非p且非q至多有n个至少有n＋1个p且q非p或非q5.反证法属于逻辑方法范畴，它的严谨体现在它的原理上，即“否定之否定等于肯定”，其中第一个否定是指“否定结论(假设)”；第二个否定是指“逻辑推理结果否定了假设”．反证法属于“间接证明方法”，书写格式易错之处是“假设”错写成“设”．用反证法证明

5、问题，一般由证明p⇒q，转向证明¬q⇒r⇒…⇒t，t与假设矛盾或与某个真命题矛盾，从而到判断¬q为假，得出q为真．反证法，不是从已知条件去直接证明结论，而是先否定结论，在否定结论的基础上进行演绎推理，导出矛盾，从而肯定结论的真实性．思路方法技巧反证法证明“否定性”命题[分析]bc≠0的否定形式为bc＝0，包括①b＝0，c＝0；②b＝0，c≠0；③b≠0，c＝0三种情况，要注意分类讨论．[证明]假设bc＝0.(1)若b＝0，c＝0，方程变为x2＝0，则x1＝x2＝0是方程x2＋bx＋c2＝0的两根，这与方程有两个不相等的实数根矛盾．(2)若b＝0

6、，c≠0，方程变为x2＋c2＝0，但c≠0，此时方程无解，与x2＋bx＋c2＝0有两个不相等的非零实根相矛盾．(3)若b≠0，c＝0，方程变为x2＋bx＝0，方程根为x1＝0，x2＝－b，这与方程有两个非零实数根相矛盾．综上所述，可知bc≠0.[点评]结论中出现“不”、“不是”、“不存在”、“不等于”等词语的命题，其反面比较具体，通过反设，转化为肯定性命题，作为条件应用，进行推理．此时用反证法更方便．[点评]本题第(2)问如果不用反证法证明也可以利用第(1)问函数单调性证明，即x<－1时，f(x)>0，－1

7、故当x<0时，f(x)≠0，所以无负实数根．“至少”“至多”型命题[点评]该命题中有“至少……”，直接方法很难证明，故可采用反证法．此题解法揭示：当命题中出现“至少……”、“至多……”、“不都……”、“都不……”、“没有……”、“唯一”等指示性词语时，宜用反证法．注意“至少有一个”、“至多有一个”、“都是”的否定形式分别为“一个也没有”、“至少有两个”、“不都是”探索延拓创新反证法在几何中的应用[分析]本题要证明的是AB、CD能不能互相平分，能与不能二者必居其一．由于不易证明“AB、CD不能互相平分”，不妨假设“AB、CD能互相平分”，以此为出

8、发点，得出与条件“AB，CD不全为直径”矛盾的结论．[证明]假设AB、CD互相平分，则四边形ACBD为平行四边形，所以∠ACB＝∠ADB，∠CAD＝∠