五空间角和距离

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1、五空间角和距离知识要点：1．两条异面直线所成的角：经过平行移动转化为相交直线，解与相交直线有关的三角形。2．直线与平面所成的角：斜线与它在平面内的射影所成的角。3．二面角的求法：（1）定义法：（2）三垂线法：（3）射影面积法_l_A_B_P_O_O_A4．距离的转化思想点面距离线面距离面面距离5．思想方法：（I）平面几何意识：中线、中位线意识；平行四边形或矩形的对角线意识；重心、垂心意识。（II）几何体的割补意识题例1.已知二面角的大小为，（A）（B）（C）（D）2．如图，正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（　　

2、）A．B．C．D．3．若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为,则=______4．如图，A、B、C是表面积为48π的球面上三点，AB=2，BC=4，∠ABC=60°，O为球心，则直线OA与截面ABC所成的角是（）A．arcsinB．arccosC．arcsinD．arccos5．设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E(如图)．现将△ADE沿DE折起，使二面角A－DE－B为45°，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M、N的连线与AE所成角的大小等于_________．6．在正三棱柱中ABC-A1B

3、1C1中，若AB=2，AA1=1，则点A到平面A1BC的距离为（A）（B）（C）（D）7．正三棱锥高为2，侧棱与底面所成角为，则点到侧面的距离是　　　　.8．已知平面α∥平面β，直线mα，直线nβ，点A∈m,点B∈n，记点A、B之间的距离为a,点A到直线n的距离为b,直线m和n的距离为c,则A.b≤a≤cB.a≤c≤b　　　　C.c≤a≤bD.c≤b≤a9．已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离为，则球心O到平面ABC的距离为（A）　　（B）　　（C）　　（D）10．如图，在直三棱柱ABC—A

4、1B1C1中，AB=BC=，BB1=2，，E、F分别为AA1、C1B1的中点，沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度为.11．如图1，已知ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO1折成直二面角，如图2。ABCDOO1ABOCO1D　　（Ⅰ）证明：AC⊥BO1；（Ⅱ）求二面角O－AC－O1的大小。ABOCO1Dxyz　　　　　　图2图1解．解法一（I）证明由题设知OA⊥OO1，OB⊥OO1.所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，即OA⊥OB.故可以O为原点，OA、OB、OO1所在直线分别为轴

5、、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图3，则相关各点的坐标是A（3，0，0），图3B（0，3，0），C（0，1，）O1（0，0，）.从而所以AC⊥BO1.（II）解：因为所以BO1⊥OC，由（I）AC⊥BO1，所以BO1⊥平面OAC，是平面OAC的一个法向量.设是0平面O1AC的一个法向量，由得.设二面角O—AC—O1的大小为，由、的方向可知，>，所以cos，>=ABOCO1D即二面角O—AC—O1的大小是解法二（I）证明由题设知OA⊥OO1，OB⊥OO1，所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，即OA⊥OB.从而AO⊥平

6、面OBCO1，OC是AC在面OBCO1内的射影.图4因为，所以∠OO1B=60°，∠O1OC=30°，从而OC⊥BO1由三垂线定理得AC⊥BO1.（II）解由（I）AC⊥BO1，OC⊥BO1，知BO1⊥平面AOC.设OC∩O1B=E，过点E作EF⊥AC于F，连结O1F（如图4），则EF是O1F在平面AOC内的射影，由三垂线定理得O1F⊥AC.所以∠O1FE是二面角O—AC—O1的平面角.由题设知OA=3，OO1=，O1C=1，所以，从而，又O1E=OO1·sin30°=，所以即二面角O—AC—O1的大小是12．在三棱锥S

7、—ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点.（Ⅰ）证明：AC⊥SB；（Ⅱ）求二面角N—CM—B的大小；（Ⅲ）求点B到平面CMN的距离.解：本小题主要考查直线与直线，直线与平面，二面角，点到平面的距离等基础知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力.解法一：（Ⅰ）取AC中点D，连结SD、DB.∵SA=SC，AB=BC，∴AC⊥SD且AC⊥BD，∴AC⊥平面SDB，又SB平面SDB，∴AC⊥SB.（Ⅱ）∵AC⊥平面SDB，AC平面ABC，∴平面SDB⊥平面ABC.

8、过N作NE⊥BD于E，NE⊥平面ABC，过E作EF⊥CM于F，连结NF，则NF⊥CM.∴∠NFE为二面角N－CM－B的平面角.∵平面SAC⊥平面ABC，SD⊥AC，∴SD⊥平面ABC.又∵NE⊥平面ABC，∴NE∥SD.∵SN=NB，∴NE=SD===，且ED=EB.在正△ABC中，由平几知识可求得EF=MB=，在R