数理统计答案

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1、第六章样本及抽样分布1.[一]在总体N（52，6.32）中随机抽一容量为36的样本，求样本均值落在50.8到53.8之间的概率。解：2.[二]在总体N（12，4）中随机抽一容量为5的样本X1，X2，X3，X4，X5.（1）求样本均值与总体平均值之差的绝对值大于1的概率。（2）求概率P{max(X1，X2，X3，X4，X5)>15}.（3）求概率P{min(X1，X2，X3，X4，X5)>10}.解：（1）=（2）P{max(X1，X2，X3，X4，X5)>15}=1－P{max(X1，X2，X3，X4，X5

2、)≤15}=（3）P{min(X1，X2，X3，X4，X5)<10}=1－P{min(X1，X2，X3，X4，X5)≥10}=4.[四]设X1，X2…，X10为N（0，0.32）的一个样本，求13解：7．设X1，X2，…，Xn是来自泊松分布π(λ)的一个样本，，S2分别为样本均值和样本方差，求E(),D(),E(S2).解：由X~π(λ)知E(X)=λ，∴E()=E(X)=λ,D()=[六]设总体X~b(1,p)，X1，X2，…，Xn是来自X的样本。（1）求的分布律；（2）求的分布律；（3）求E(),D()

3、,E(S2).解：（1）（X1，…，Xn）的分布律为=（2）(由第三章习题26[二十七]知)（3）E()=E(X)=P，[八]设总体X~N（μ，σ2），X1，…，X10是来自X的样本。（1）写出X1，…，X10的联合概率密度（2）写出的概率密度。解：（1）(X1，…，X10)的联合概率密度为（2）由第六章定理一知13～即的概率密度为第七章参数估计1．[一]随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm计）74.00174.00574.00374.00174.00073.99874.00674.002求总体均值

4、μ及方差σ2的矩估计，并求样本方差S2。解：μ，σ2的矩估计是。2．[二]设X1，X1，…，Xn为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。（1）其中c>0为已知，θ>1，θ为未知参数。（2）其中θ>0，θ为未知参数。（5）为未知参数。解：（1），得13（2）（5）E(X)=mp令mp=，解得3．[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。解：（1）似然函数（解唯一故为极大似然估计量）（2）。(解唯一)故为极大似然估计量。（5），解得，（解唯一）故为极大似然估计量。4．[

5、四(2)]设X1，X1，…，Xn是来自参数为λ的泊松分布总体的一个样本，试求λ的极大似然估计量及矩估计量。13解：（1）矩估计X~π(λ)，E(X)=λ，故=为矩估计量。（2）极大似然估计，为极大似然估计量。（其中5．[六]一地质学家研究密歇根湖湖地区的岩石成分，随机地自该地区取100个样品，每个样品有10块石子，记录了每个样品中属石灰石的石子数。假设这100次观察相互独立，并由过去经验知，它们都服从参数为n=10，P的二项分布。P是该地区一块石子是石灰石的概率。求p的极大似然估计值，该地质学家所得的数据如

6、下样品中属石灰石的石子数012345678910观察到石灰石的样品个数016723262112310解：λ的极大似然估计值为==0.499[四(1)]设总体X具有分布律X123Pkθ22θ(1－θ)(1－θ)2其中θ(0<θ<1)为未知参数。已知取得了样本值x1=1，x2=2，x3=1，试求θ的矩估计值和最大似然估计值。解：（1）求θ的矩估计值则得到θ的矩估计值为（2）求θ的最大似然估计值13似然函数lnL(θ)=ln2+5lnθ+ln(1－θ)求导得到唯一解为8．[九(1)]设总体X~N（μ，σ2），X1

7、，X1，…，Xn是来自X的一个样本。试确定常数c使的无偏估计。解：由于=当。[十]设X1，X2，X3，X4是来自均值为θ的指数分布总体的样本，其中θ未知，设有估计量（1）指出T1，T2，T3哪几个是θ的无偏估计量；（2）在上述θ的无偏估计中指出哪一个较为有效。解：（1）由于Xi服从均值为θ的指数分布，所以13E(Xi)=θ,D(Xi)=θ2,i=1,2,3,4由数学期望的性质2°，3°有即T1，T2是θ的无偏估计量（2）由方差的性质2°，3°并注意到X1，X2，X3，X4独立，知D(T1)>D(T2)所以T

8、2较为有效。14.[十四]设某种清漆的9个样品，其干燥时间（以小时计）分别为6.05.75.86.57.06.35.66.15.0。设干燥时间总体服从正态分布N~（μ，σ2），求μ的置信度为0.95的置信区间。（1）若由以往经验知σ=0.6（小时）（2）若σ为未知。解：（1）μ的置信度为0.95的置信区间为（），计算得（2）μ的置信度为0.95的置信区间为（），计算得，查表t0.025(8)=2.3060.16.