数学分析大纲

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1、《数学分析》教学大纲说明1、本课程是数学专业（本科）的一门重要基础课，它的任务是使学生获得极限论、微积分学、无穷级数等方面的系统知识。本课程是进一步学习复变函数、微分方程、微分几何、概率论、实变函数与泛函分析等后继课程的阶梯，也是用更高的观点深入理解中学数学教材、更好地将数学知识应用于生产实践所必要的基础。2、通过本课程的教学应使学生做到：（1）对极限思想和方法有深刻的认识，从而有助于培养学生的辨证唯物主义观点；（2）正确理解数学分析的基本概念，基本上掌握数学分析中的论证方法，获得教熟练的演算技能和初步应用的能力；（3）逐步养成严谨的治学习惯，逐

2、步提高自己的分析问题和解决问题的能力与书面及口头表达能力；3、本课程总教学时数为373学时。其中讲授约342学时，习题课约31学时。4、实施本大纲时，注意以下几点：（1）本大纲所列顺序及学时数安排，可按所选用教材及每学期的周数，在不影响基本要求的情况下作适当调整。（2）作为中学教师，应对“实数理论”、“数表构造”有一定的理解，建议教学过程中注意作适当介绍。（3）大纲中每节所列出的讲授时数与习题课时数，可按学生学习的实际情况作少量调整。（4）大纲中列出号和用小号排版的内容是为了扩大学生的视野，教学中可根据情况适当选用。时间安排如下：（建议另外安排课

3、外辅导时间）第一学期讲授84学时，习题课14学时。第二学期讲授85学时，习题课17学时。第三学期讲授85学时。第四学期讲授85学时。大纲内容一、实数集与函数（12学时）实数概述。绝对值不等式。区间与邻域。数集的确界与确界原理。函数概念，函数的几种表示法（解析法、列表法和图象法等）。具有某些特性的函数（有界函数、单调函数、奇函数与偶函数、周期函数）。函数的有理运算。复合函数，反函数、基本函数、基本初等函数、初等函数。[附注]（1）为了与中学数学衔接，建议用无限十进小数来定义实数，并指出它的性质。（2）在中学已学过“集合”、“对应”的基础上，建议用“

4、映射”的观点定义函数，并引用记号f：xy。二、数列极限（14学时）数列，数列极限的定义，收敛数列性质——唯一性、有界性、保号性、不等式性质、迫敛性、有理运算。有界单调数列极限存在定理。三、函数极限（20学时）函数极限。。单侧极限。函数性质唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质，迫敛性、有理运算。归结原则（Heine定理）。函数极限的柯西准则。。无穷小量及其阶的比较，记号o、0、~。广义极限。无穷大量及其阶的比较。四、函数的连续性（12学时）函数在一点的连续性。单侧连续性。间断点及其分类、在区间上连续的函数。连续函数的局部性质——有界性、保号性

5、。连续函数的有理运算。复合函数的连续性，闭区间上连续函数的性质——有界性、取得最大最小值性、介值性、一致连续性。反函数的连续性，初等函数的连续性。[附注]在讲授“初等函数的连续性”时应给出“实指数的乘幂”的定义。五、导数与微分（20学时）引入问题（瞬时速度问题）。导数定义。单侧导数，导函数，导数的几何意义，无穷大导数。和、积、商的导数。反函数的导数，复合函数的导数，初等函数的导数，微分概念，微分的几何意义。微分运算法则。一阶微分形式的不变性，微分在近似计算中的应用。高阶导数与高阶微分。有参量方程所表示的曲线的斜率。[附注]（1）结合求导举例，可介

6、绍对数求导法。（2）高阶导数的布莱尼兹公式可述而不证。六、微分学基本原理与不定式极限（20学时）费马（Fermat）定理、罗尔中值定理、拉格朗日定理（泰勒公式及其拉格朗日型余项、皮亚诺（Peano）型余项）。近似计算。罗比塔（L‘HOSPital）法则。七、运用导数研究函数性态。函数单调性的判别法。极值，最大值与最小值。曲线的凹凸性，拐点，渐近线，函数图象的讨论。八、实数的一些基本定理（10学时）区间套定理。数列的柯西收敛准则。有界无限数列存在收敛子列。聚点定理。有限覆盖定理。[附注]建议以区间套定理为主要工具证明其他定理。关于“闭区间上连续函数

7、性质的证明”可视情况适当选用。九、不定积分（15学时）原函数与不定积分概念。基本积分表，线性运算法则，换元积分，几种无理函数的积分（如）。[附注]连续函数的原函数存在性的证明留待一单元“定积分”中进行。十、定积分（33学时）引入问题（曲边梯形面积与变力作功）。定积分定义，定积分的几何意义，可积的必要条件，上和与下和，上积分与下积分。可积的充要条件。可积函数类——闭区间上的连续函数、闭区间上只有有限个间断点的有界函数、单调函数，定积分性质——线性运算法则、区间可加性、不等式性质、绝对可积性、积分中值定理。微积分学基本定理。牛顿——莱布尼兹公式，换元

8、积分法，分部积分法。无穷限非正常积分概念。柯西准则，线性运算法则，绝对收敛。无穷限非正常积分收敛判别法。无界函数非正常积分概念。无界函数