模糊数学讲稿7new

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1、第六章　扩张原理与F数，换成其它函数能否将上的F模糊集变成上的F集。一、普通扩张原理1．给定映射则可以诱导两个新映射，分别记作和，称为的像，为的逆(原)像。2．用特征函数表示3．性质P394，性质①至⑩，如：；；……例1设求解：二、模糊扩张原理1．定义1(扩张原理1)设，由可以诱导出两个映射和：其中：称为的像，为的像。例2　设求解：同理同理所以：2．扩张原理可视为F变换（另一表示）（1）确定到的F关系：由可确定到的F变换（2）同样，令表示到的F关系,3．性质定理1　设，则，有；；。一般证　仅证第二式即#推论设，则；；。这

2、是扩张原理另一描述方法。定理2　设，则，证　充分性　（）所以必要性　，令，那么从而所以#定理3　设，则（1）；（2）；（3）；（4）。证　仅证（3）若，则若，则所以#定理4设，则（1）（2）若为满射，且，则；（3），则；（4）；（5）；（6）。定理5（扩张原理等价定义），三、二（多）元扩张原理1．定义1　设，则称映射：为直积映射。其中定义2（二元扩张原理）设则称映射为由诱导出的映射，隶属函数为：例1　设是普通加法（原来上的加法）（上的加法）根据扩张原理，有或（仅需考虑均不为0的对应的）可取1,2,3,4,5。因此2．定理

3、设，则，使证　必要性　设，则得因此，，，使因而所以充分性　，，，且#扩展原理可以将实数的代数运算扩展到实数域上的F数的代数运算。四、凸　F　集1．普通凸集为凸集，2．凸F集定义1　设是实数域，，若，且，均有则称是凸F集。回忆高等数学中凸函数概念例1　设（1）若，则（2）若，因是减函数，故有因此所以，为凸F集。（事实上：任何单调函数都是凸F集）3．相关定理定理1若是凸函数，则为凸F集。证明：，且，则存在因为是凸函数，所以有：即，为凸F集。#定理2　为凸F集，，为凸集。证　必要性，，即不妨设，则，由为凸F集得所以，故为凸集。

4、充分性，取则，因为凸集，故，即所以，为凸F集。#推论　凸F集的截集必为区间，截集为区间的F集必为凸F集。定理3　若，是凸F集，则也是凸F集。证　（自己证）五、F数1．定义1设，且满足：（1）（正规F集）（2），为闭区间，则称为一个F实数，简称F数。记为全体F数集合。注：①且为单点集，即则称为严格F数；（实数，）②若取离散实数论域，只要求为闭凸集（！）。例如：③若且有界，则称为有限F数；④若且有界，则称为有界F数；⑤所含都是正实数，则称为正F数；⑥所含都是负实数，则称为负F数；⑦F数是F凸集。例1　设为三角F集，由于时，，

5、所以是严格F数。当时，为负F数；当时，为正F数。2．有关定理定理1　为有界F数的充分必要条件是存在区间使得其中：为增函数，右连续，，且为减函数，左连续，，且证　必要性因为正规，所以的核，即存在，使，由于F数是凸的，因此有，所以，当时，令为增函数。因时，，故。现证明右连续。用反证法……定理2　设是实数域上的二元运算，，则或：例2　设计算解　仅计算（1）隶属函数不为0的元素有：2，3，4，6，8，9，12（2）逐点计算如：最后得六、区间数1．定义1设，且则称为区间数，记为。2．运算（1）加法（2）减法（3）乘法其中：（4）除

6、法当中不含0时，例1　3．性质定理1　设为有界F数，则，定理2　设是两个有界F数，，则，有：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）例2假如某一工程任务可分为两个阶段：第一阶段大约6~8天可完成，其完成任务的可能性分布为F数。第二阶段大约9~12天可完成，用F数表示为问最可能完成这一工程任务的时间？解：取，由定理2，有即完成这一任务最可能的时间是16~18。练习：1，2，4，6，7（2）（4）（6），9，11，15，16。