模糊数学讲稿4 (1)

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1、第三章　F关系与聚类分析一、关系1．直积（笛卡尔积）2．关系现实世界中存在各种各样的关系“父子关系”，“师生关系”，“数的大于等于关系”…特点：涉及两个集合，，与或者有关系，或者没关系，这就是普通关系。定义1给定论域，规定一个到的关系（记作），对任意，与有关系，记作，与无关系记作，二者必居其一，且仅居其一。定义1（等价定义）若，则称为到的关系。例1“大于等于“关系，记作“”，3．常用性质（上的关系）（1）自反（2）对称（3）传递4．分类（聚类）问题（1）（2）二、F关系的定义和性质1．定义1称的一个模糊子集确定了一个到的模糊关系（记作），隶属度表示与有关系的程度。“朋友”关

2、系，“信任”关系，“相像”关系…例1　实数域上的“远远大于”关系，记作“”，隶书函数定义为：例2设某地区身高论域，体重论域，下表给出了一个表示身高与体重之间相互关系，它是一个模糊关系。140150160170180400.90.70.60.30.1500.70.90.80.50.2600.60.610.80.4700.30.30.810.7800.10.20.40.712．关系与运算由于F关系也是F集，所以F集之间的关系、运算以及性质对它一样成立。如：其中，称为截关系。并称为在水平上有关系，否则称为无关系。3．F矩阵，（1）定义1　设以为第行，第列元素构成的矩阵称为F矩阵，

3、记作。F矩阵也是普通矩阵，它表示从到的一个F关系，元素代表有关系的程度。（2）性质①92页7条（与13页对比）；②93页性质1-性质5。例1　设则　　　　三、F关系的对称性与自反性1．对称（1）定义定义1　定义，则称为的转置关系。当论域有限时，上面定义为为的转置矩阵。定义2　若，则称为对称矩阵（模糊关系）。例1　设是对称矩阵。举对称模糊关系和非对称模糊关系“朋友”？“相像”？“信任”？（2）转置关系性质①；②；③；④，则是对称的；⑤，对称，，则由性质④，⑤得，包含的对称矩阵一定包含，故是包含的最小对称矩阵。（3）对称闭包定义3包含具有对称性的最小模糊关系称为的对称闭包，记作

4、。①，且是对称的②（4）对称闭包求法性质④和⑤说明是的对称闭包。即1．自反关系（1）定义4若则称为上的自反（模糊）关系。论域有限时称为自反（模糊）矩阵。是自反矩阵其中为单位矩阵。（2）自反闭包定义5包含具有自反性的最小模糊关系称为自反闭包，记为。①，且是自反的②（1）自反闭包求法3．截矩阵（1）定义6设，，记其中则称为的截矩阵。截矩阵就表示截关系。可以类似定义。例2设若取，则若取，则（2）性质①②注意：四、F关系的合成1．定义例1设表示一群人,表示“兄弟”关系，表示“父子”关系。若且，那么与有什么关系？“叔侄”关系。反之，若与有叔侄关系，则必存在使且。在这个例子中，“叔侄”

5、关系由“兄弟”关系和“父子”关系确定的新关系，或者说由和运算得到。新关系：用特征函数表示和，的关系，则有：推广到模糊关系情况，有下面定义：定义1设，对的合成就是从到的一个F关系，记作，隶属函数定义为：“叔侄”关系=“兄弟”关系合成“父子关系”，即定义2当，记例2　设则其中例2　设则其中：即2．性质①结合律：证　因为因此　　#推论　②　其中：0为零关系　为恒等关系③（上的关系）④（对分配）证所以类似地#分配律对任意并也成立。即对任意指标集,有分配律对交成立吗？例2设，，，，，，但所以因此事实上，对任意交仅有包含关系，没有等式成立。⑤　设，则证　只要证两边矩阵元素相等即可。左边

6、行列为1的充分必要条件是右边行列为1，从而两边相等。推论　⑥　证　设，，按转置关系定义，有因此　推论　定理1　设，则证　根据分解定理3，只须证明因为　所以　类似可证　五、F关系的传递性例1朋友关系0.8乙0.4甲丁0.6丙0.8甲与丁：0.4（通过乙）0.6（通过丙）甲与丁：大于等于0.6----传小于0.6------不传1．定义1　设，若，则称是传递关系。等价定义：设，如果，具有传递性，则称是传递关系。举例：传递关系—远远大于，朋友…不具备传递性的关系—熟悉，信任，…2．传递闭包定义2设，包含的最小的传递关系称为的传递闭包，记作或。用数学语言描述则为：（1），（2），（

7、3）传递，则称为的传递闭包，记。3．求法定理2　设，则证　（自己证）定理3　证　必要性　充分性　由，得故　因为　所以　同理可证对一切　，有故而　因此定理4　设只有个元素，，则例1　设，求。解定理5　设是自反矩阵，则证　由于是自反矩阵，故,按定理4和定理1，有　　　　　做法：练习：2，4，7，9，11，13，15，18，22，23，24