2011备考最新压轴题(一)(数学)

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1、2011备考最新数学压轴题之一1.（本小题满分12分）已知，函数，（其中为自然对数的底数）．（1）判断函数在区间上的单调性；（2）是否存在实数，使曲线在点处的切线与轴垂直?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．解（1）：∵，∴．令，得．①若，则，在区间上单调递增.②若，当时，，函数在区间上单调递减，当时，，函数在区间上单调递增，③若，则，函数在区间上单调递减.……6分（2）解：∵，，由（1）可知，当时，．此时在区间上的最小值为，即．当，，，∴．曲线在点处的切线与轴垂直等价于方程有实数解．而，即方程无实数解．故不存在，使曲线在处的切线与轴垂直……1

2、2分2．（本小题满分12分）已知线段，的中点为，动点满足（为正常数）．（1）建立适当的直角坐标系，求动点所在的曲线方程；（2）若，动点满足，且，试求面积的最大值和最小值．解（1）以为圆心，所在直线为轴建立平面直角坐标系.若，即，动点所在的曲线不存在；若，即，动点所在的曲线方程为；若，即，动点所在的曲线方程为.……4分(2)当时，其曲线方程为椭圆.由条件知两点均在椭圆上，且设，，的斜率为，则的方程为，的方程为-4-解方程组得，同理可求得，面积=………………8分令则令所以，即当时，可求得,故，故的最小值为，最大值为1.……12分（2）另解：令，则解得所

3、以，而因此，即最大值是1，最小值是.3．（本小题满分12分）函数的反函数为，数列和满足：，，函数的图象在点处的切线在轴上的截距为.（1）求数列{}的通项公式；（2）若数列的项中仅最小,求的取值范围；（3）令函数-4-,.数列满足:,且，(其中).证明:解:(1)令解得由解得∴函数的反函数则得是以2为首项，1为公差的等差数列，故…………3分(2)在点处的切线方程为令得仅当时取得最小值，∴的取值范围为………6分(3)所以又因则显然…………8分-4-…10分-4-