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时间:2019-05-06
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1、《回归分析》导学案2教学目标(1)通过实例引入线性回归模型,感受产生随机误差的原因;(2)通过对回归模型的合理性等问题的研究,渗透线性回归分析的思想和方法;(3)能求出简单实际问题的线性回归方程.教学重点,难点线性回归模型的建立和线性回归系数的最佳估计值的探求方法.教学过程一.问题情境1.情境:对一作直线运动的质点的运动过程观测了次,得到如下表所示的数据,试估计当x=9时的位置y的值.时刻/s位置观测值/cm根据《数学(必修)》中的有关内容,解决这个问题的方法是:先作散点图,如下图所示:从散点图中可以看出,样本点呈直线趋势,时间与位置观测值y之间有着较好的线性关系.
2、因此可以用线性回归方程来刻画它们之间的关系.根据线性回归的系数公式,可以得到线性回归方为,所以当时,由线性回归方程可以估计其位置值为2.问题:在时刻时,质点的运动位置一定是吗?二.学生活动思考,讨论:这些点并不都在同一条直线上,上述直线并不能精确地反映与之间的关系,的值不能由完全确定,它们之间是统计相关关系,的实际值与估计值之间存在着误差.三.建构数学1.线性回归模型的定义:我们将用于估计值的线性函数作为确定性函数;的实际值与估计值之间的误差记为,称之为随机误差;将称为线性回归模型.说明:(1)产生随机误差的主要原因有:①所用的确定性函数不恰当引起的误差;②忽略了某
3、些因素的影响;③存在观测误差.(2)对于线性回归模型,我们应该考虑下面两个问题:①模型是否合理(这个问题在下一节课解决);②在模型合理的情况下,如何估计,?2.探求线性回归系数的最佳估计值:对于问题②,设有对观测数据,根据线性回归模型,对于每一个,对应的随机误差项,我们希望总误差越小越好,即要使越小越好.所以,只要求出使取得最小值时的,值作为,的估计值,记为,.注:这里的就是拟合直线上的点到点的距离.用什么方法求,?回忆《数学3(必修)》“2.4线性回归方程”P71“热茶问题”中求,的方法:最小二乘法.利用最小二乘法可以得到,的计算公式为,其中,由此得到的直线就称为
4、这对数据的回归直线,此直线方程即为线性回归方程.其中,分别为,的估计值,称为回归截距,称为回归系数,称为回归值.在前面质点运动的线性回归方程中,,.3.线性回归方程中,的意义是:以为基数,每增加1个单位,相应地平均增加个单位;4.化归思想(转化思想)在实际问题中,有时两个变量之间的关系并不是线性关系,这就需要我们根据专业知识或散点图,对某些特殊的非线性关系,选择适当的变量代换,把非线性方程转化为线性回归方程,从而确定未知参数.下面列举出一些常见的曲线方程,并给出相应的化为线性回归方程的换元公式.(1),令,,则有.(2),令,,,则有.(3),令,,,则有.(4),
5、令,,,则有.(5),令,,则有.四.数学运用1.例题:例1.下表给出了我国从年至年人口数据资料,试根据表中数据估计我国年的人口数.年份人口数/百万解:为了简化数据,先将年份减去,并将所得值用表示,对应人口数用表示,得到下面的数据表:作出个点构成的散点图,由图可知,这些点在一条直线附近,可以用线性回归模型来表示它们之间的关系.根据公式(1)可得这里的分别为的估计值,因此线性回归方程为由于年对应的,代入线性回归方程可得(百万),即年的人口总数估计为13.23亿.例2.某地区对本地的企业进行了一次抽样调查,下表是这次抽查中所得到的各企业的人均资本(万元)与人均产出(万元
6、)的数据:人均资本/万元人均产出/万元(1)设与之间具有近似关系(为常数),试根据表中数据估计和的值;(2)估计企业人均资本为万元时的人均产出(精确到).分析:根据,所具有的关系可知,此问题不是线性回归问题,不能直接用线性回归方程处理.但由对数运算的性质可知,只要对的两边取对数,就能将其转化为线性关系.解(1)在的两边取常用对数,可得,设,,,则.相关数据计算如图所示.1人均资本/万元345.56.578910.511.5142人均产出/万元4.124.678.6811.0113.0414.4317.525.4626.6645.230.477120.602060.7
7、40360.812910.84510.903090.954241.021191.06071.1461340.61490.669320.938521.041791.115281.159271.243041.405861.425861.65514仿照问题情境可得,的估计值,分别为由可得,即,的估计值分别为和.(2)由(1)知.样本数据及回归曲线的图形如图(见书本页)当时,(万元),故当企业人均资本为万元时,人均产值约为万元.2.练习:练习第题.五.回顾小结:1.线性回归模型与确定性函数相比,它表示与之间是统计相关关系(非确定性关系)其中的随机误差提供了选择模型的准则
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