中学数学研究-陕081217“二项式系数的性质与应用”课例及评价

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1、资料编号14474二项式定理张健发表在陕081217上属于教法、辅导、课例摘要题为《“二项式系数的性质与应用”课例及评价》江苏省邳州市教育局教研室张健文[1]指出：学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式.这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程.高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识.“二项式系数的性质与应用”是高中数学新课程《数学选修2-3》“计数原理”中的一节内容.这节内容的难度大，

2、探究性强，所渗透的数学思想方法较多，如何在教师的引导下，让学生通过自主探究、合作交流的学习方式“体验数学发现和创造的历程”？我们对这节课做了富有成效的尝试.1课堂教学简录教师:二项式系数之间有什么关系？(学生沉思，没有回答）教师:研究数的变化规律，一般采用什么方法？学生2:从特殊到一般的方法.教师:“从特殊到一般”的基本思路是——学生3:观察特例找出规律归纳猜想给出证明.学生4:取n=1，2,3我发现:前后两个二项式系数都是1;与两端间距相等的两个二项式系数相等;当”为偶数时，中间一个二项式系数最大；当„为奇数时，中间两个二项式系数最大.教师:真不错！一下就说出来三条性质.为了便于观

3、察，我们可以对《取不同值，得到二项式系数表(多媒体投影图1):二项式系数表构成了三角形图案，右侧这个三角形图案最早是由我国古代数学家杨辉发现的，所以又称“杨辉三角”，它比西方的“帕斯卡三角”早300多年.教师:能用式子表示这些性质吗？学生5:;当n为偶数时，以最大；当n为奇数时，以和(两者相等）最大.（有其他学生补充）教师:还有其他发现吗？学生6:“杨辉三角”从第三行开始，毎行的数都是先增后减.教师:怎么用数学符号表示？教师：二项式右侧的表是由左側表计算得来的.教师:还有其他性质吗？(学生沉默）教师:同行的数“亲如兄弟”，异行的数是否也“藕断丝连”呀！学生8:任意一个数（除1以外)都

4、等于它“两肩”上的两个数之和.教师:你能发现它很不简单！请看图2.这个性质怎么表示？教师:太精彩了！由于n是任意的，实际这两个等式是统一的.教师:这个性质非常重要！它可以使“杨辉三角”连续不断地写下去.你能说出各项的二项式式代人第一个等式，消去偶数项，化简后即得.2教学特色点评数学教学从本质上说，是教师和学生以课堂为主渠道的交往活动，是教师和学生在特殊教育情境中的自主探究活动•这节课教师本着“让学生充分经历知识的形成、发展和应用过程”“充分体验数学的发现和创造历程”的教学理念，为学生的智慧生长而教，使学生在探究中“转知为智，化识成慧”，从知识课堂走向智慧课堂.2.1提供时空:让学生在

5、探究过程中生成智慧教材知识的呈现方式是单一的、静态的，而学生获取的方式是多样的、动态的.教师能够摒弃“教教材”的做法，树立“用教材教”的理念，将教材中静态的数学知识还原成动态的生成过程，尽可能地为学生提供一种思考、交流、探究的空间，像科学家一样参与数学知识的再发现、再创造过程，引导学生从过程中体验和感悟.在探究过程中，教师充当一名组织者，提供探究材料(杨辉三角），提出学习要求；充当一名引导者，帮助学生获得探究方法（从特殊到一般），提示研究方向，引导学生朝着有意义的方向去做;充当一名合作者，成为学生中的一员，与学生平等交流，相互分享彼此的思考、见解和知识.学生拥有一份被信任感，积极参与

6、自主探究、合作交流活动，其间，矛盾冲突层层深入，思维碰撞时时激起，智慧火花不断生成：“与两端间距相等的两个数相等”“当7!为偶数时，中间一个数最大；当72为奇数时，中间两个数最大”“任意一个数(除1以外）都等于它两肩上的两个数之和”，多么富有个性化的理解和表达，这是学生灵感和智慧的系数吗？学生10:1，7,21，35,35,21，7，1.教师:还有其他发现吗？(学生沉思）教师:刚才我们探索了“杨辉三角”“局部”之间数的关系，若从“整体”上看呢？比如，把每一行的所有数賦予运算，所得的值是否有规律性呢？学生11:我把每一行的数都相加：第一行为1=2°;第二行为2=2、第三行为4=22;…

7、…于是第n行应为2n.也就是教师:真不简单呀！这个性质是通过归纳猜想得到的，怎么证明它呢？(学生沉思）教师:这个式子的“源头”在哪里呀？学生:二项式定理.学生12:我是这样想的，不知对不对！要用二项式定理证明这个等式，关键是把展开式各项中的字母化为1，于是令a=b=l，就得证了.教师:大家认为她这样证明是否可以？学生13:可以.因为二项式定理对任意的a、b都正确，所以当a、b都取1时，推出的结论当然也是正确的.教师:是的！若一般情形成立，则特殊情形一定成立