中学数学研究-上030206变式教学研究（续）

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1、资料编号4783鲍建生发表在上030206上属于教法、模式、变式题为《变式教学研究（续）》鲍建生黄荣金易凌峰顾泠沅1.—个悖论（见本刊2003年第1期）2.经验与实验变式教学在中国由来已久,被广大教师自觉或不自觉地运用，其中也不乏经验性的教学研究.正是在这个基础上，顾泠沅(1981)对变式教学进行了系统而深入的实验研究与理论分析.这项研究主要涉及两个方面的工作：一是对传统教学中的“概念变式”进行系统的恢复与整理;二是将“概念性变式”推广到“过程性变式”，从而使变式教学既适用于数学概念的掌握，也适用于数学活动经

2、验的增长.2.1概念性变式——对概念的多角度理解传统的变式教学主要用于概念的掌握，如《教育大辞典》（顾明远主编，1999)对“教学变式”词条的解释是：“在教学中使学生确切掌握概念的重要方式之一.即在教学中用不同形式的直观材料或事例说明事物的本质属性，或变换同类事物的非本质特征以突出事物的本质特征.目的在于使学生了解哪些是事物的本质特征，哪些是事物的非本质特征，从而对一事物形成科学概念.，，传统意义上的教学变式主要包括两类：一类是属于概念的外延集合的变式，称为概念变式，其中又可以根据其在教学中的作用分为概念的标

3、准变式和非标准变式；另一类是不属于概念的外延集合，但与概念对象有某些共同的非本质属性的变式，称为非概念变式，其中包括用于揭示概念对立面的反例变式.所有这些概念变式和非概念变式，我们统称为概念性变式.概念性变式在教学中的主要作用是使学生获得对概念的多角度理解.(1)通过直观或具体的变式引入概念数学概念的一个基本特征是抽象性，但许多数学概念又直接来自具体的感性经验，因此,概念引入教学的关键是建立感性经验与抽象概念之间的联系.顾泠沅(1981)的研究表明，影响学生掌握几何概念的主要因素有三个：已具备的图形经验、概念

4、的叙述以及掌握概念所依据的图形变式.以两条异面直线的概念教学为例.实践表明，异面直线概念的教学主要有两个难点：一是概念的定义（内涵）比较抽象，学生不易理解;二是异面直线属于三维图形，用平面直观图去表不难免会造成视觉上的失真，从而也为概念对象(外延）的鉴别带来困难.针对这两个难点，有经验的教师通常会借助于下面两类变式：一是通辻日常生活中的直观材料(如图1左）组织已有的感性经验，使学生理解概念的具体含义;二是利用不同的困形变式（如图1右)，作为直观材料与抽象概念之间的过渡，使学生原有的感性经验从具体直观上升到图形

5、的水平，进而掌握概念困形的基本特征，准确地把握概念的外延空间.这里必须强调的是，在概念的引入阶段，具体或直观变式的主要作用是建立感性经验与抽象概念之间的联系.由于数学概念的本质是抽象的，因此，在教学的适当阶段还应尽可能地摆脱具体或直观的背景，使概念上升到抽象水平.此外，许多数学概念都是逐次抽象的结果，因此，数学概念的具体与抽象是相对而言的.例如，在说明“方程”概念的本质属性:“含有未知数的等式”时，可以用下^面的概念变式：2x=1,+1=2,4x—3—5,3x+4y—12,x2-1=0,x2+y2=1.这些变

6、式虽然本身也是抽象的代数符号表达式，但相对于“方程”概念来说，则是直观和具体的.(2)通过非标准变式突出概念的本质属性和一般科学概念一样，数学概念是一种外延性概念，也就是说，每个概念都有一个明晰的边界，掌握概念意味着能够通过内涵去确定一个具体的对象是否在这个边界内.因此，教学的一种有效途径就是将概念的外延作为变异空间，将其所包含的对象作为变式，通过类化不同变式的共同属性而突出概念的本质属性.在概念的对象集合中，尽管从逻辑的角度看，每个对象都是等价的，但实际上，这些对象在学生的概念理解系统中的地位并不相同.特别

7、地，其中一些对象由于其拥有“标准的”形式、或者受到感性经验的影响、或者在引入概念时的“先入为主”等原因而成为所谓的标准变式,如图2:在这两种概念变式中，标准变式虽然有利于学生对概念的准确把握，但也容易限制学生的思维，从而人为地缩小概念的外延.解决这个问题的方法之一就是充分利用非标准变式，通过变换概念的非本质属性，突出其本质属性.(3)通过非概念变式明确概念的外延概念的内涵与外延是对立而统一的，内涵明确则外延清晰，反之亦然.因此，概念的教学除了在内涵上下功夫外，还应该使学生对概念所包含的对象集合有一个清晰的边界

8、.数学概念通常都不是孤立的，而是存在于一个由多种概念组成的概念体系之中，我们可以用下面的示图来表示概念之间的联系：图中显示了概念4与其他一些概念之间的关系.其中B是4的上位概念，C是4的下位概念，4和D是相交关系，4与E则是矛盾关系.因此，要明确概念的外延就必须划清概念与其周边概念之间的边界.这里的一条有效途径就是利用所谓的“非概念变式”，如平面几何中的非概念图形.通过非概念图形与概念图形的比较，可