中学数学研究-陕071110课例类比推理

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1、资料编号14372推理与证明类比推理陈春芳发表在陕071110上属于教法、辅导、课例题为《课例:类比推理》1创设情境，引入新课(多媒体显示）春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师)一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.教师:请同学们思考，鲁班是受到什么启发发明锯子的？学生1:因为齿形的茅草割破了手，所以他想齿形的锯子也能割破手.（此时其他同学纷纷表示不赞同）学生2:鲁班被割破手的时候还没有锯子.应该是齿形的茅草能割破手，那么能割断木头的工具也可能是齿形的.(大部分同学表示赞同）教师:很好!鲁班是根据两个对象在功能上类似，因此猜想它们在形状上也类似

2、，从而发明了齿形的工具——锯子.这样的思维方式也是由前提得出结论的一种思维，是不是我们上节课学的归纳推理呢？学生3:不是，因为不是从特殊到一般.教师..对，这不是归纳推理.这就是我们今天要学习的类比推理(板书课题).类比推理和归纳推理是两种不同的推理方法.那么它们在思维方式上具体有什么差异呢？在^^体问题中又是怎样运用的？下面我们一起来看几个类比推理的例子.2学生活动，尝试探索教师：我们以前学过等式和不等式，它们都是反映数之间的大小关系，因此，它们具有不少相似的属性.问题1(将全班同学分成两部分)请一部分同学给出等式的性质，另一部分同学根据等式的性质猜想不等式的一些性质.（众学生回答，教师板书

3、）教师:刚才的问题是如何解决的？学生7:先弄清楚圆与球的一些元素的对应关系，再把圆的性质p“翻译”成球的性质.问题3刚才我们一起探讨了两个类比推理的例子，其实在我们的学习中遇到过很多运用类比推理思想的例子，下面请同学们结合我们以前学过的知识，举一些类比推理的例子.（大家众说纷纭）学生8:物理中计算位移的公式s=类比得到计算功的公式w=fs.学生9:根据指数函数的图象和性质可以类比得到对数函数的图象和性质.学生10:等差数列的性质可以类比得到等比数列的性质.教师：同学们能够积极思考，利用我们学过的知识作为类比的素材，从“形”的相似推出“质”的类似.其中等差、等比数列在形式上的“貌合”，这其中包括

4、定义叙述上的类似——仅“差”与“比”的一字之差，也包括通项公式或递推公式上的类似——“加”与“乘”、“乘”与“乘方”的对应，当然还包括了部分性质之间的类似，等差数列前n项和的公式的推导与等比数列前n项和的公式的发现等.3意义建构，形成概念教师:刚才我们在解决问题的过程中运用了类比推理的思维方式，下面请同学们思考：哪些对象之间可以进行类比？类比的结论是怎样得到的？学生11:两类具有相同或相似属性的对象之间的性质可以类比.学生12:是由一类对象的已知性质推测另一类对象相似的性质.类比的时候需要把两类对象元素之间的对应关系分析清楚.教师:刚才同学们基本把类比推理的关键点总结出来了，下面我们用规范的语

5、言整理一下便可以得出类比推理的定义.(多媒体)类比推理：由两类对象在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理称为类比推理(简称类比）.教师:类比推理的前提是两类具有相似或相同性质的对象，是根据一类对象的已知性质去猜测另一类对象的未知性质，是由特殊到特殊的推理.下面请大家运用所学的类比推理试着解决下面的问题.4数学运用，巩固知识4.1例题呈现如图，类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想.教师引导学生分析:运用类比推理解决问题的关键是分析两类类比对象之间的本质特征，根据它们的相同或相似之处猜测类比结论.本题是将哪两类对象进行类比？它们的特征分别是什

6、么？直角三角形中的边长的平方关系，在空间四面体中可以从哪些角度进行类比？学生13:在四面体中有PD2+ED2+FD2=PE2+EF2+PF2.教师:他的结论你们赞同吗？学生14:不赞同，根据边长关系知上述结论是错误的.教师：刚才这位同学抓住了两个图形中直角边和斜边的关系特征进行类比，而得到的结论是一个错误的结论，关键是忽略了本题中是将二维（直角三角形）向三维（四面体)类比，没有认清类比对象之间的联系与区别.下面先请大家列出两类对象的元素之间的对应关系.学生15(口答，教师板书）：教师:平面几何是研究二维的点、直线(曲线）、平面图形之间的关系，其中有不少定理与性质我们可以迁移到空间进一步研究.而

7、立体几何问题所要面对的是三维中的点、直线、平面之间的关系.通过类比，可以探索一些空间的点、线、面是否具有和平面中相同或类似的关系.运用类比推理当切入点不一样时得出的结论是不唯一的，但通常我们是寻找正确的结论，因此类比要有一定的合理性.4.2学生练习(1)已知正三角形的边长为a，求它的内切圆的半径r;(2)已知正四面体的棱长为a,求它的内切球的半径r.由两名学生板演第（1)题，然后大家共同完成第(2