中学数学研究-陕140110课例：余弦定理

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1、资料编号14484解三角形余弦定理罗增儒发表在陕140110上属于教法、辅导、课例摘要题为《课例：余弦定理》本节课的教学内容是北师大版《数学5》第二章“解三角形”的第一节“正弦定理与余弦定理”的第3课时，教学重点是余弦定理的证明及其应用，教学难点是余弦定理的证明。希望通过本节课能帮助学生健全解三角形的基本知识和方法。1教学过程实录1.1复习回顾教师：我们知道，对于三角形的三条边长和三个内角，如果给定其中的三个独立条件，那么就可以求出这个三角形的其他边长或角度。问题1:对于一个三角形，给定其中的三个独立条件有哪几种类型呢？学生1:共有

2、四种类型：（1)已知两角及一边长；(2)已知两边长及其中一边的对角；（3)已知两边长及其夹角；（4)已知三边长。问题2:在以上几种类型中，哪些比较适合用正弦定理来求解？学生2:前两种类型：（1)已知两角及一边长；(2)已知两边长及其中一边的对角。教师：前两节课我们学习了正弦定理，并用正弦定理可以轻松地求解学生2说到的两种类型的三角形问题。那么，对于下面的问题3,该如何求解呢？问题3:在DABC中，如图1，已知AC=5,BC=8，∠ACB=60°,求边的长度。（如图1)(给学生留3分钟时间，教师巡视,并为有困难的学生提供必要帮助）学生

3、3:我的方法是作垂线,用勾股定理求解,具王全（陕西师范大学附属中学)体过程如下:学生4:我觉得应过点B作BE丄AC，垂足为E,方法与学生3的一样，但计算过程会更简单！因为这样能避免分数计算。教师：同样的方法，选择不同的垂线作法，计算难度就不一样，学生4很棒。学生5:我是用正弦定理求解的，具体过程如下：解：在AABC中，由正弦定理得问题4:在DABC中，已知AC=6，BC=a及角C,求边AB的长度c。(给学生留5分钟时间，教师巡视,并为有困难的学生提供必要帮助）1.3合作探究教师:请合作交流两个问题。(1)交流你们的解法，完善你们的解

4、法；(2)关注各解法在求解问题3和问题4时的异同！(本部分是关键环节，应主要分两个阶段来完成。一是要给学生的独立推导留够时间，不能着急；二是在学生交流讨论时要注意了解学生的方法，有问题的一定要及时指出、提示，对学生的交流进行必要的调控。另外，学生对∠C分为锐角、直角、钝角的讨论很难完整进行，这一点指出即可，不必纠缠。余弦定理的证明方法有很多，课堂上因势利导即可，不必贪多求全。向量法证明余弦定理还是要重点讲解的，而其他方法留给有兴趣的学生自己学习即可。）教师:好！下面请几个小组的代表发言。学生6:我们组一共尝试了两种方法：第一种是作垂

5、线，利用勾股定理求解；第二种是利用正弦定理来求解，但还没有推导出来。教师:那好！请你为大家具体说说你们组的第一种方法。学生6:不用具体说了吧！方法跟解决问题3的方法完全一样，只是将具体数字换成了字母而已。学生7:不行！问题3中的∠ACB=60°，而问题4中∠ACB的大小不确定，需要讨论它是锐角、直角、钝角三种情况。我们组发现只是思路上需要注意到而已，计算过程基本一样，并不困难！(这时，有两三个小组的同学已经议论开了。显然是刚才考虑有遗漏）学生8:我们组推荐用向量法求解。具体如下：教帅：显然，由学生5的方法可知用正弦定理是可以解决这一

6、问题的。这一解法的关键是利用正弦定理构造方程组，并解方程组即可。教师:还有其他解法吗？(没有学生响应）1.2提出问题教师：我们把问题3—般化，就可以得到“已知两边长及其夹角，求第三边长”的问题。也即是教师：非常好！向量法简洁明快，还避免了对∠ACB的讨论。事实上，对∠ACB确实应分锐角、直角、钝角三种情况讨论，但还不够全面。因为，当∠ACB是锐角时，∠CBA,∠CAB还应分锐角、直角、钝角的情况讨论。我们在此不做过多讨论，有兴趣的同学可以参考课后阅读资料进一步学习！教师：由刚才的结论，可得c2=az+b2—2abcosC。类似的，如

7、果我们已知的是b、c、A，则可以得到：学生：a2=b2+c2—2bccosA。教师:如果知道的是c、a、B呢？学生:b2=c2+a2—2cacosB。1.4余弦定理余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍，即a2=b2+c2—2bccosA。b2=c2+a2—2cacosBc2=a2+b2—2abcosC1.5定理剖析1.5.1余弦定理的特例教师：特别地，当三角形是直角三角形时，由cos90°=0可得到什么结论？学生：勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广。教师：我们一开始就

8、回顾了解三角形的四种类型，其中第四种类型是“知道三角形的三边，需要求角度”，现在你能求解吗？学生9：能！由余弦定理变形好可得1.5.3余弦定理的作用用余弦定理可以比较容易求解以下两类解三角形的问题：已知三边长求角；已知两边长及夹角求第