中学数学研究-陕140131余弦定理教学中的几点思考

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1、摘要资料编号14489解三角形余弦定理巨申文发表在陕140131上属于教法、辅导、课例题为《余弦定理教学中的几点思考》余弦定理是北师大版普通高中教科书《数学5》第三章“解三角形”的主要内容之一，它是三角函数和平面向量在三角形中的具体运用，是解三角形计算问题及生产、生活实际问题的重要工具，具有广泛的应用价值和思考价值。余弦定理教学的第一节课，其主要任务是生成和证明余弦定理，并初步应用余弦定理解决一些简单的实际问题，由于其中蕴涵了丰富的教内容和数学思想方法，所以成为常谈常新的经典问题和课例。这些年围绕它的教学设计、案例、论文数不胜数，各有特色，发人深省。本文就余

2、弦定理教学中的几个关键环节，谈几点个人的思考。1关于教学活动的出发点——从哪里提出问题，提出什么样的问题近几年经过对新课程理论的学习，大家普遍对“问题引领教学活动”的主张有了一定的认知。就每一节课而言，都要首先提出一个具体问题，教学就从这个问题开始说起，于是，问题成为教学过程的起点，也是教学活动的指向。并且，北师大版高中数学教材的许多章节的第一个栏目大多数都是“问题提出，，，这样的编排或许是教学组织的一个范式或者出发点。那么，本节课应该确立怎样的起点，又从哪里出发提出什么样的问题呢？在此，就有必要从三角形和余弦定理的联系上，认识教学内容的前因后果。《普通高中

3、数学课程标准（实验）》将三角形作为几何度量问题来看待，通过对任意三角形边角关系的研究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的关系，进而理解数学量化思想。纵观初髙中数学，对于三角形的研究是沿着两条主线展开的，一条主线是从三角形和三角形之间的关系人手，在初中我们研究两个三角形是否全等、是否相似，对于两个全等或相似的三角形，就可以借助其中一个三角形的特征，来推断另一个三角形的某些特性;研究的另一条主线是针对一个三角形从定性和定量两个方面着手。如定量地研究三角形的边长、面积和角度的大小等。进一步说，由于确定一个三角形至少要有全部的角和边当中的三个元素。当给出三条边长时

4、，这个三角形就确定了，要知道三个角的大小，余弦定理就能确定：当给出了两边及一个夹角时，这个三角形也就确定了，这时也可以通过余弦定理确定其他的边和角的大小，可见余弦定理就是表述三角形元素间度量关系的定理。也就是从代数角度来刻画三角形的。所以，我们就要针对解三角形提出问题，同时依此为出发点，进一步讨论三角形中最基本的数量关系。以下几种提问方式是最常见的：方式1（复旧引新式）：教材中“问题提出”栏开门见山指出“在三角形中，已知两角及一边，或已知两边和其中一边的对角，可以利用正弦定理求其他的边和角。那么，已知两边及其夹角，怎么求出此角的对边呢？已知三边，又怎么求出它

5、的三个角呢？”这个问题，上承正弦定理，下启本节内容。在先概括正弦定理应用的基础上，提出目前面临的问题，学生自然马上会问“有没有解决这两类问题的一个定理呢？”他们内心必然呼唤余弦定理的诞生。方式2(问题情境式）：如图1，某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道通过这座山的长度。工程技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山脚B、C的距离，再利用经纬仪测出A对山脚BC(即线段BC)的张角，最后通过计算求出山脚的长度BC。学生不难将这个实际问题转化成数学问题：已知三角形的两边及其夹角，求三角形的另外一边。方式2是一个实际问题。这个问题不能使用正弦定理求解

6、，学生急切的希望应用新知识来解决它。巨申文(陕西省宝鸡市教学研究室)所以，在学生脑海中很快就形成了一个认知冲突。实际上，这种提问方式，在许多公开课、示范课中普遍采用，确实为课堂增色添彩。既体现数学教育联系实际，又很接近余弦定理的教学目标。方式3按照从特殊到一般的发现规律，通过三角形中∠C的变化，相等的平方关系不再存在，学生自然会产生诸多猜想。比较三种提问方式，由于提出问题的出发点不尽相同，对教学活动的导向作用也就不同。很显然，前两种方式的问题引人比较自然，都以解三角形为出发点，这有利于教学活动向发现余弦定理的方向发展。方式3是归纳猜想的典型案例，有一定的思考

7、难度，问题指向比较单一，要求相对较高。同时也说明，来自数学本身的问题和实际问题都是余弦定理产生的直接原因。2证明定理时，教师启发的着力点——采用什么方法证明以及怎样给学生讲余弦定理的证明观察问题的着眼点和思路选择的着力点，决定了解决问题的方式方法。余弦定理之所以成为一道经典的数学问题，正是由于他可以从不同角度分析，得到不同的证明方法。那么，在课堂上启发学生思考的着力点放在哪里呢？这就要进一步认识解三角形的意义。探究和证明余弦定理的过程既是本节课的一个重点，其实也是本节课的难点。之所以如此，主要是方式1提出的问题没有明确下一-步该怎么做。方式2虽然在解三角形，

8、但不知道解的目的是什么，所以还要与初中学习的三角形全