中学数学研究-陕140148图移事易此法宜矣

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1、资料编号14493函数图象平移端木彦发表在陕140148上属于教法、辅导、教材摘要题为《图移事易此法宜矣》端木彦（南京航空航天大学附属高级中学)第一部分,鉴赏。苏教版《数学1》在“指数函数’’章节中介绍了函数图象平移，又在《数学4》“三角函数”章节中加深理解。掌握图象的平移，有助于我们更好地利用函数图象直观研究数量关系。对于学生来说，图象平移最大的作用就是用来作图，但其实，图象平移还可以直接运用于解题，并使解答得以简化。下面来看几个例子。答——分离常数法。其实，该方法本质上还是运用了基本初等函数的图象平移。上下平移影响值域变化，但左右平移不

2、影响，可由此分析得到所求函数的值域。同样的思路还可以运用于其他简单初等函数的相关类型问题。例3(2012年高考数学江苏卷第13题）已知函数f(x)=x2+ax+b(a，b∈R)的值域为[0,+∞),若关于x的不等式f(x)=c的解集为（m,m+6),则实数c的值为。二次函数的开口大小由二次项的系数决定，值域为[0，+∞)表明图象与x轴相切，由此可判断f(x)=x2+ax+b的图象是由g(x)=x2的图象左右平移得到的。再看看解集为（m，m+6),是否也能理解为某个区间的左右平移呢。基于以上分析，问题马上简化为不等式x2

3、6的区间。易知，c的值为9。函数的其他性质也可做如此分析。例4求证：点（1，1)是函数图象的对称中心。证明对称中心的传统做法是，证明图象上任一点关于点（1，1)的对称点仍在图象上。对于学生来说，无论是理解还是计算，都属于中等偏难的题型。高中数学教学中常常要渗透给学生数学思想方法，在面对自己不熟悉的问题时如何思考？转化化归便是一剂良方。这时教师不妨这样启发学生，想一想自己熟悉的问题中有没有涉及对称中心的。学生很容易想到奇函数的图象关于原点对称。然后应用图象平移，即可将复杂的对称性问题简化为简单的奇偶性问题。高，解得三角形面积（图1)。虽然思路

4、清晰，但这样的计算量使不少学生花费大量时间后也未能彳辱出正确结果。第三部分，结论。波利亚说:“一个想法使用一个技巧，经过多次使用就可成为一种方法。”我们所说的“图移事易”可以运用于哪些问题的解决呢？指导思想是要能简化问题解决的过程。一是求解函数解析式或曲线方程。周期性函数、由已知函数图象或曲线经平移得到的新函数图象或曲线、从图形上直观表现为“移动”和“重复”的，都可以运用平移解决。二是研究函数或曲线性质。将函数解析式或曲线适当变形，如整理出平移的形式=0,就可利用f(x，y)=0的性质进行研究。还是以为例，不仅可以快速研究对称性，还可以快速

5、研究定义域、值域、单调性等。由此还带给我们一点思考，苏教版必修系列教材中，对于函数对称性仅研究较为特殊的奇偶性，也许正是禀着“图移事易”的初衷。三是简化运算。其一，解三次方程。高中数学偶见三次方程求解，且一般可通过试根法等简易过程立即得到方程的某一个根。这时我们可以利用平移，把方程对应函数的这个零点移动到坐标原点，剩下的问题就是解出二次方程的根，再逆向移回了。其二，计算量源自函数解析式或曲线方程本身，而非具体图形的问题。通过平移，将解析式或方程简化，以达到减少运算的作用。特别要注意，题目中涉及的其他图形可能需要整体平移。对于给定函数的图象，

6、要能做到从图象的左右和上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，不仅要在审题、识图上多下工夫，学会分析“数”和“形”的结合点，还要把常见的基本题型的解法技巧理解透、掌握好。“图移事易”一定还有更为广泛的运用，需要平时留心积累，不断总结，不断实践。包括其他图形变换方式的运用，通过积累总结和运用实践，我们还能归纳出“图转事易”或是“对称事易”等技巧或方法。例如，《中学数学教学参考》2013年第9期《课例：直线与椭圆的位置关系》一文中，“把椭圆变成圆”的做法，是“伸缩事易”的典型例子。在转化化归思想的指导

7、下，熟练地运用这些方法，不仅能提高学生的思维高度和解题能力，还能活跃课堂氛围。有兴趣者，不妨做些尝试。