中学数学研究-上050600几何教学中的直观实验与逻辑推理

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1、资料编号11770几何田载今发表在上050600上属于教法、类型、思维题为《几何教学中的直观实验与逻辑推理》一、几何学的研究对象决定了其研究方法包括直观实验与逻辑推理数学是以数量关系与空间形式（“数”与“形”）为主要研究对象的科学，几何学是其中研究“形”的分支.形者，几何图形也.三角形、四边形、圆……是平面几何图形，柱、锥、台、球……是立体几何图形.几何图形最初来自客观世界中物体的形状，但它们比客观原型更典型、更纯粹、更一般.例如，初升的太阳、十五的月亮、水中的波纹……都能给人以圆的形象,而几何中圆的定义是“到定点的距离等于定长的点的集合”,它是从太阳、月亮、波纹等具体的实物模型中抽象

2、出集中刻画圆的形状特点的一般概念.几何图形可以直观地表示出来，人们认识图形的初级阶段中主要依靠形象思维.远古时期人们对几何图形的认识始于观察、测量、比较等直观实验手段，现代儿童认识几何图形亦如此，人们可以通过直观实验了解几何图形,发现其中的规律.然而，因为几何图形本身具有抽象性和一般性，一种几何概念可能包含无限多种不同的情形，例如有无数种形状不同的三角形.对一种几何概念所包含的一部分具体对象进行直观实验所得到的认识，一定适合其他情况吗？这是直观实验回答不了的问题.因此,一般地，研究图形的形状、大小和位置关系时，不能仅仅依靠直观实验的方法，而需要具有一般性和抽象性的方法，其中包括逻辑推理

3、.从几何学的历史可以看出，人们认识图形的高级阶段中主要依靠抽象的逻辑思维，欧几里得用逻辑链条将对图形零散的认识编织成公理体系，是几何学发展的一个重要的里程碑.如果没有逻辑推理，那么对图形的认识将不断改变图1中点4在圆上的位置，虽然对每一情形仍可验证上述结论,但是我们还没有充足的理由断言上述猜想正确.这是因为弧所对的圆周角有无数多个，我们不可能将它们全部一一测量，这就无法保证弧所对的任何一个圆周角的大小都是圆心角的一半.而要说明上述猜想是真命题，必须找到不依赖直接观测的方法.考虑到圆周角的边与直径的位置关系只有三种（图2),针对每种情况，利用已经证实的结论（“三角形的一个外角等于与它不相

4、邻的两个内角的和”、“等腰三角形的底角相等”),可以无懈可击地、合乎逻辑地推出=2/B4C,这种方法不必一一列举点4在圆上的每个具体位置，是彻底摆脱实测的方法.由此可见，与直观实验相比,逻辑推理要更严密、更深刻、更一般化，从而是更高级的研究方法.事实上,如果只停留在直观实验阶段，而没有逻辑推理，那么人们在认识几何图形时，即使对一些比较明显的规律也不能作出充分证实.例如，“三角形的两边中点连线平行于第三边”这个看似简单的规律是不能通过直观实验证明的，因为两直线无限长，怎么能实际考察它们是否永不相交呢？如果不认识几何学内在的逻辑性,那么只能有限地认识一些关于图形的零散表象，而不能认识在图形

5、背后蕴涵的许多实质性内容.二、培养逻辑思维能力是几何教学的重要目标之一为什么要学习几何？为什么几何是中学数学课程中的重要内容？人们通过学习几何可以认识丰富多彩的几何图形，建立与发展空间观念，掌握必要的几何知识，培养运用这些知识认识世界与改造世界的能力.但是,这些并不是几何学的全部教育功能.从更深层次看,学习几何学的一个更重要的作用是：以几何困形为载休，培养逆辑思维能力，提高理性思维水平.这正是自古希腊开始几何教学一直倍受重视的主要原因.从实际需要看，一个普通人一生中运用几何知识的时间、场合，要比他应该运用逻辑思维的时间、场合少得多.前者在特定的环境下发生,而后者经常地、普遍地出现，它的

6、作用远比前者大得多.一个人学过几何后，如果不继续从事与数学关系密切的学习或工作,他一生中有可能很少甚至不会用到某个几何定理，但是他肯定应该经常不断地在不同程度上使用逻辑推理来分析问题.当然，其他课程也可以培养学生的逻辑思维能力，学习几何学并不是实现此目的之惟一途径.但是，长期以来几何学被普遍认为是适合培养逻辑思维能力的绝好课程，这是客观事实.形成这种状况的原因主要有：1.几何学的历史悠久，学科体系成熟；2.几何学体系的逻辑性特点格外突出；3.几何学的研究对象是几何图形,结合几何图形，利用图形语言，在一定程度上可以降低认识和理解逻辑推理的难度.数学家杨乐院士说：“凡是从事数学研究和数学教

7、育的，都会对从中学学习几何时受到的严格的逆辑思维训练有很深的休会,似乎很难找到别的东西来代替它对中学生进行严格的逆辑思维培养.”数学家谷超豪院士说：“数学成为各门科学可靠的工具，也正因为它具有最严谨、最严格的特性.因此，在基础教育中，要教会学生在进行运算时要严格地遵循运算的正确法则，而且要相当熟练，不引入主观臆想，换句话说，要认认真真地、正确地做计算.要学会严格推理困难就大一些，但也完全是必须的，一定要逐步使学生适应这种严格的推理方式，并且在书