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《函数的单调性 (2)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、亿库教育网http://www.eku.cc百万教学资源免费下载函数的单调性一、复习引入：⒈复习：我们在初中已经学习了函数图象的画法.为了研究函数的性质，我们按照列表、描点、连线等步骤先分别画函数和的图象.的图象如图1，的图象如图2.⒉引入：从函数的图象（图1）看到：图象在轴的右侧部分是上升的，也就是说，当在区间[0，+)上取值时，随着的增大,相应的值也随着增大，即如果取∈[0，+)，得到=,=,那么当<时，有<.这时我们就说函数==在[0,+)上是增函数.图象在轴的左侧部分是下降的，也就是说，当在区间（
2、-，0）上取值时，随着的增大，相应的值反而随着减小，即如果取∈（-，0），得到=,=,那么当<时，有>.这时我们就说函数==在(-,0)上是减函数.函数的这两个性质，就是今天我们要学习讨论的.二、讲解新课：⒈增函数与减函数定义：对于函数的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值，⑴若当<时，都有<,则说在这个区间上是增函数（如图3）；9亿库教育网http://www.eku.cc百万教学资源免费下载亿库教育网http://www.eku.cc百万教学资源免费下载⑵若当<时，都有>,则说在这个区间上是减函数
3、（如图4）.说明：三大特征：①属于同一区间；②任意性；③有大小：通常规定⒉单调性与单调区间若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.说明：⑴函数的单调区间是其定义域的子集；有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数（图1），当∈[0,+)时是增函数，当∈(-,0)时是减函数.⑵应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数），例如，图
4、5中，在那样的特定位置上，虽然使得>，但显然此图象表示的函数不是一个单调函数；⑶单调函数的图像特征：在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.（4）单调函数的数量特征：在单调区间上，增函数y随x的增大而增大，减函数y随x的增大而减小三、函数单调性的判断：例1如图6是定义在闭区间[-5，5]上的函数的图象，根据图象说出9亿库教育网http://www.eku.cc百万教学资源免费下载亿库教育网http://www.eku.cc百万教学资源免费下载的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数
5、还是减函数.利用函数图像归纳基本初等函数的单调性：1.正比例函数：f(x)=kx(k0)，2.反比例函数：f(x)=(k0)，3.一次函数：f(x)=kx+b(k0),4.二次函数：f(x)=ax+bx+c,例2证明函数在R上是增函数.例3试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性．练习.判断函数g(x)＝在(1，＋∞)上的单调性．9亿库教育网http://www.eku.cc百万教学资源免费下载亿库教育网http://www.eku.cc百万教学资源免费下载总结：定义法证明函数单调性的步骤：
6、1、取值:设任意属于给定区间，且；2、作差变形:变形的常用方法:因式分解、配方、有理化等；3、定号:确定的正负号；4、下结论:由定义得出函数的单调性。.抽象函数的单调性例4．已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－.(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．例5.已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<0.(1)求f(1)的值；(2
7、)判断f(x)的单调性；(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小练习：设函数f(x)对任意的x，y，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且当x＞0时，f(x)＞1.(1)求证：函数f(x)是R上的增函数；(2)若f(4)＝5，解不等式f(3t2－t－2)＜3.9亿库教育网http://www.eku.cc百万教学资源免费下载亿库教育网http://www.eku.cc百万教学资源免费下载四．函数单调性的应用1.利用函数的单调性比较函数值的大小例1如果函数f(x)=x+bx+c,对任意实
8、数t都有f(2+t)=f(2-t),比较f(1)，f(2)，f(4)的大小。例2已知函数y=f(x)在［0,+）上是减函数，试比较f()与f(a-a+1)的大小。练习。.设函数f(x)在R上为减函数，则下列正确的是_____①②③④2.利用函数的单调性解不等式例1已知f(x)是定义在R上的单调函数，且f(x)的图像过点A(0,2),和点B(3,0)（1）解方程f(x)=f(1-x)(2)解不等式f(2x)＜f(1+x)(3)求
