《3.1.2复数的几何意义》导学案3

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1、《3.1.2复数的几何意义》导学案3【课标要求】1．理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数以及它们之间的一一对应关系．2．掌握实轴、虚轴、模等概念．3．掌握用向量的模来表示复数的模的方法．【核心扫描】1．复数模的概念及求法是考查的热点．2．常与方程、解析几何结合命题，题型以选择、填空为主．自学导引1．复平面的定义如图所示，点Z的横坐标为a，纵坐标为b，复数z＝a＋bi可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴、y轴叫做虚轴．显然实轴上的点都表示

2、实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．2．复数的几何意义复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)及以原点为起点，点Z(a，b)为终点的向量是一一对应的，如图所示．想一想：平面向量能够与复数一一对应的前提是什么？提示　复数与向量建立一一对应关系的前提是向量的起点是原点，若起点不是原点，则复数与向量就不能建立一一对应关系．3．复数的模复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的向量为，则的模叫做复数z的模，记作

3、z

4、，且

5、z

6、＝.想一想：(1)复平面内

7、z

8、的意义是什么？提示　在复平面内，

9、z

10、

11、表示复数z的点Z到原点的距离，也就是向量O的模．(2)模相等的两个复数相等吗？提示　模相等的两个复数未必相等．例如，

12、i

13、＝1＝

14、－i

15、，但显然i≠－i.名师点睛1．复平面上的点的坐标与复数的关系(1)复平面上点的横坐标表示复数的实部，点的纵坐标表示复数的虚部．(2)表示实数的点都在实轴上，实轴上的点都表示实数，它们是一一对应的；表示纯虚数的点都在虚轴上，但虚轴上的点不都表示纯虚数，如原点表示实数0.2．复数的几何意义每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的

16、一个复数和它对应．由此可知，复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)．设复平面内的点Z表示复数z＝a＋bi，连结OZ，显然向量是由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定．因此，复数集C与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z＝a＋bi平面向量.用点Z(a，b)表示复数称为复数的几何形式，用向量表示复数称为复数的向量形式．为方便起见，我们常把复数z＝a＋bi说成点Z或说成向量O，并且规定，相等

17、的向量表示同一个复数．3．巧用复数的几何意义解题(1)复平面内

18、z

19、的意义我们知道，在实数集中，实数a的绝对值，即

20、a

21、是表示实数a的点与原点O间的距离．那么在复数集中，类似地，

22、z

23、是表示复数z的点到坐标原点间的距离，也就是向量的模，即

24、z

25、＝

26、

27、.(2)复平面内任意两点间的距离设复平面内任意两点P、Q所对应的复数分别为z1、z2，则

28、PQ

29、＝

30、z2－z1

31、.运用以上性质，可以通过数形结合的方法解决有关问题.题型一　复数的几何意义【例1】在复平面上，复数i,1,4＋2i的对应的点分别是A，B，C.

32、求平行四边形ABCD的D点所对应的复数．[思路探索]法一　复数―→点的坐标―→中点坐标公式―→D点坐标―→D对应复数，法二　复数―→向量―→向量运算―→―→D对应复数．解　法一　由已知A(0,1)，B(1,0)，C(4,2)，则AC的中点E，由平行四边形的性质知E也是BD的中点，设D(x，y)则　∴即D(3,3)，∵D点对应复数为3＋3i.法二　由已知：＝(0,1)，＝(1,0)，＝(4,2)．∴＝(－1,1)，＝(3,2)，∴＝＋＝(2,3)，∴＝＋＝(3,3)，即点D对应复数为3＋3i.法三　设

33、D(x，y)，由＝，∴(1，－1)＝(x－4，y－2)，∴即D(3,3)．复数的几何意义包含两种情况：(1)复数与复平面内点的对应：复数的实、虚部是该点的横、纵坐标，利用这一点，可把复数问题转化为平面内点的坐标问题．(2)复数与复平面内向量的对应：复数的实、虚部是对应向量的坐标，利用这一点，可把复数问题转化为向量问题．【变式1】实数k为何值时，复数z＝k2－3k－4＋(k2－5k－6)i对应的点位于：(1)x轴正半轴上；(2)y轴负半轴上；(3)第四象限角平分线上．解　∵k为实数，∴k2－3k－4，

34、k2－5k－6为实数，∴复数z＝k2－3k－4＋(k2－5k－6)i对应的点Z为(k2－3k－4，k2－5k－6)．(1)若对应点位于x轴正半轴上，则解得k＝6.(2)若对应点位于y轴负半轴上，则解得k＝4.(3)若对应点位于第四象限角平分线上，又第四象限角平分线的方程为y＝－x(x>0)，∴解得k＝5.题型二　复数的模的求法【例2】求复数z1＝6＋8i及z2＝－－i的模，并比较它们的模的大小．[思路探索]先确定复数的实、虚部，再代入公式即可．解　∵z1＝6＋8i，z