04.极差、方差与标准差

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1、极差、方差与标准差第20章数据的整理与初步处理1．表示一组数据离散程度的指标回顾我们已经知道，如果要描述一组数据，那么可以选用这些数据的代表：平均数、中位数或众数．问题1表1显示的是上海2001年2月下旬和2002年同期的每日最高气温，如何对这两段时间的气温进行比较呢?从表1中可以看出，2002年和2001年2月下旬的气温相比，有4天的温度相对高些，有3天的温度相对低些，还有1天的温度相同．我们可以由此认为2002年2月下旬的气温比2001年高吗？比较两段时间气温的高低，求平均气温是一种常用的方法．经计算可以看出，对于2

2、月下旬的这段时间而言，2001年和2002年上海地区的平均气温相等，都是12℃．这是不是说，两个时段的气温情况没有什么差异呢？图1是根据两段时间的气温情况绘成的折线图．图1不同时段的最高气温观察一下，它们有差别吗？通过观察，我们可以发现：图（a）中折线波动的范围比较大——从6℃到22℃，图（b）中折线波动的范围则比较小——从9℃到16℃．什么样的指标可以反映一组数据变化范围的大小？思考我们可以用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围．用这种方法得到的差称为极差．极差＝最大值－最小值在图1中我们可以看

3、出，图（a）中最高气温与最低气温之间差距很大，相差16℃，也就是极差为16℃；图（b）中所有气温的极差为7℃，所以从图中看，整个气温变化的范围不太大．在生活中，我们常常会和极差打交道．班级里个子最高的学生比个子最矮的学生高多少？家庭中年纪最大的长辈比年纪最小的孩子大多少？这些都是求极差的例子．思考为什么说下图中的两个城市，一个“四季温差不大”，一个“四季分明”？问题2小明和小兵两人参加体育项目训练，近期的五次测试成绩如表2所示谁的成绩较为稳定？为什么？通过计算，我们发现两人测试成绩的平均值都是13分．从图2可以看到：相比

4、之下，小明的成绩大部分集中在13分附近，而小兵的成绩与其平均值的离散程度较大．思考什么样的数能反映一组数据与其平均值的离散程度？通常，如果一组数据与其平均值的离散程度较小，我们就说它比较稳定．我们已经看出，小兵的测试成绩与平均值的偏差较大，而小明的较小．那么如何加以说明呢？可以直接将各数据与平均值的差进行累加吗？在表3中写出你的计算结果．通过计算，依据最后的结果可以比较两组数据围绕其平均值的波动情况吗？如果不行，请你提出一个可行的方案，在表4的红色格子中写上新的计算方案，并将计算结果填入表中．思考如果一共进行了7次测试,

5、小明因故缺席了两次,怎样比较谁的成绩更稳定?请将你的方法与数据填入表5中.我们可以用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况．这个结果通常称为方差．我们通常用S2表示一组数据的方差，用表示一组数据的平均数，x1、x2、…表示各个数据．问题2中方差的计算式就是从方差的计算过程，可以看出S2的数量单位与原数据的不一致了，因此在实际应用时常常将求出的方差再开平方，这就是标准差．练习：1.比较下列两组数据的极差和方差:A组:0,10,5,5,5,5,5,5,5,5;B组:4,6,3,7,2,

6、8,1,9,5,5练习：2.算一算,哪段时间气温的离散程度较大?练习：3.下面是两个水果店1至6月份的销售情况（单位：千克），分析这两个水果店销售量的稳定情况.小结1.极差＝最大值－最小值2.我们可以用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况．这个结果通常称为方差．3.