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时间:2019-05-06
《《椭圆的参数方程》同步练习3》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、《椭圆的参数方程》同步练习3(时间40分钟,满分60分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.曲线C:,(φ为参数)的离心率为( )A. B.C.D.【解析】 由题设,得+=1,∴a2=9,b2=5,c2=4,因此e==.【答案】 A2.参数方程,(α为参数)的普通方程是( )A.y2-x2=1B.x2-y2=1C.y2-x2=1(1≤y≤)D.y2-x2=1(
2、x
3、≤)【解析】 因为x2=1+sinα,所以sinα=x2-1.又因为y2=2+sinα=2+(x2-1),所以y2-x2=1.∵-1≤sinα≤1,y=,∴1≤y≤.∴普通方程为y2-x2=1,y∈[1,
4、].【答案】 C3.点P(1,0)到曲线(参数t∈R)上的点的最短距离为( )A.0B.1C.D.2【解析】 d2=(x-1)2+y2=(t2-1)2+4t2=(t2+1)2,由t2≥0得d2≥1,故dmin=1.【答案】 B4.已知曲线,(θ为参数,0≤θ≤π)上的一点P,原点为O,直线PO的倾斜角为,则P点的坐标是( )A.(3,4)B.(,2)C.(-3,-4)D.(,)【解析】 由题意知,3cosθ=4sinθ,∴tanθ=,又0≤θ≤π,则sinθ=,cosθ=,∴x=3×cosθ=3×=,y=4sinθ=4×=,因此点P的坐标为(,).【答案】 D二、填空题(每小题5分,
5、共10分)5.已知椭圆的参数方程(t为参数),点M在椭圆上,对应参数t=,点O为原点,则直线OM的斜率为________.【解析】 由得点M的坐标为(1,2).直线OM的斜率k==2.【答案】 26.(2013·江西高考)设曲线C的参数方程为(t为参数),若以直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C的极坐标方程为________.【解析】 化为普通方程为y=x2,由于ρcosθ=x,ρsinθ=y,所以化为极坐标方程为ρsinθ=ρ2cos2θ,即ρcos2θ-sinθ=0.【答案】 ρcos2θ-sinθ=0三、解答题(每小题10分,共30分)7.(2013·平
6、顶山质检)如图2-2-3所示,连接原点O和抛物线y=x2上的动点M,延长OM到点P,使
7、OM
8、=
9、MP
10、,求P点的轨迹方程,并说明是什么曲线?图2-2-3【解】 抛物线标准方程为x2=2y,其参数方程为得M(2t,2t2).设P(x,y),则M是OP中点.∴∴(t为参数),消去t得y=x2,是以y轴对称轴,焦点为(0,1)的抛物线.8.(2012·龙岩模拟)已知直线l的极坐标方程是ρcosθ+ρsinθ-1=0.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,椭圆C的参数方程是(θ为参数),求直线l和椭圆C相交所成弦的弦长.【解】 由题意知直线和椭圆方程可化为:x+
11、y-1=0,①+y2=1,②①②联立,消去y得:5x2-8x=0,解得x1=0,x2=.设直线与椭圆交于A、B两点,则A、B两点直角坐标分别为(0,1),(,-),则
12、AB
13、==.故所求的弦长为.9.(2013·漯河调研)在直角坐标系xOy中,直线l的方程为x-y+4=0,曲线C的参数方程为(α为参数).(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,点P的极坐标为(4,),判断点P与直线l的位置关系;(2)设点Q是曲线C上的一个动点,求它到直线l的距离的最小值.【解】 (1)把极坐标系下的点P(4,)化为直角坐标,得点(0,4).因为
14、点P的直角坐标(0,4)满足直线l的方程x-y+4=0,所以点P在直线l上.(2)因为点Q在曲线C上,故可设点Q的坐标为(cosα,sinα),从而点Q到直线l的距离为d===cos(α+)+2,由此得,当cos(α+)=-1时,d取得最小值,且最小值为.教师备选10.设椭圆的中心是坐标原点,长轴在x轴上,离心率e=,已知点P(0,)到这个椭圆上的点的最远距离是,求这个椭圆的方程,并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标.【解】 设椭圆的参数方程是,其中,a>b>0,0≤θ<2π.由e2===1-()2可得==即a=2b.设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d,则d2=x2+(y-)2=a2
15、cos2θ+(bsinθ-)2=a2-(a2-b2)sin2θ-3bsinθ+=4b2-3b2sin2θ-3bsinθ+=-3b2(sinθ+)2+4b2+3,如果>1即b<,即当sinθ=-1时,d2有最大值,由题设得()2=(b+)2,由此得b=->,与b<矛盾.因此必有≤1成立,于是当sinθ=-时,d2有最大值,由题设得()2=4b2+3,由此可得b=1,a=2.所求椭圆的参数方程是由sinθ=-,cosθ=±可得,椭圆上的
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