《摆线》导学案1

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1、《摆线》导学案1课前自主导学课标解读1.借助教具或计算机软件，观察圆在直线上滚动时圆上定点的轨迹(平摆线)、直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹(渐开线)，了解平摆线和渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程．2.通过阅读材料，了解其他摆线(变幅平摆线、变幅渐开线、外摆线、内摆线、环摆线)的生成过程；了解摆线在实际应用中的实例.知识梳理1．渐开线及其参数方程(1)把线绕在圆周上，假设线的粗细可以忽略，拉着线头逐渐展开，保持线与圆相切，线头的轨迹就叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆．(2)设基圆的半

2、径为r，圆的渐开线的参数方程是(φ为参数)．2．摆线及其参数方程(1)当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上的一个定点运动的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线．(2)设圆的半径为r，圆滚动的角为φ，那么摆线的参数方程是(φ是参数)．思考探究1．圆的渐开线的参数方程中的参数φ的几何意义是什么？【提示】　根据渐开线的定义和求解参数方程的过程，可知其中的字母r是指基圆的半径，而参数φ是指绳子外端运动时绳子与基圆的切点B转过的角度，如图，其中的∠AOB即是角φ.显然点M由参数φ惟一确定．在我们解决有关问

3、题时可以适当利用其几何意义，把点的坐标转化为与三角函数有关的问题，使求解过程更加简单．2．圆的摆线的参数方程中的参数φ的几何意义是什么？【提示】　同样，根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程，可知其中的字母r是指定圆的半径，参数φ是指圆上定点相对于定直线与圆的切点所张开的角度．参数的几何意义可以在解决问题中加以引用，简化运算过程．当然这个几何意义还不是很明显，直接使用还要注意其取值的具体情况.课堂互动圆的渐开线的参数方程　已知圆的直径为2，其渐开线的参数方程对应的曲线上两点A、B对应的参数分别是和，求A

4、、B两点的距离．【思路探究】　先写出圆的渐开线的参数方程，再把A、B对应的参数代入参数方程可得对应的A、B两点的坐标，然后使用两点之间的距离公式可得A、B之间的距离．【自主解答】　根据条件可知圆的半径是1，所以对应的渐开线参数方程是(φ为参数)，分别把φ＝和φ＝代入，可得A、B两点的坐标分别为A(，)，B(，1)．那么，根据两点之间的距离公式可得A、B两点的距离为

5、AB

6、＝＝.即A、B两点之间的距离为.　根据渐开线的定义和求解参数方程的过程可知其中的字母r是指基圆的半径，参数φ是指绳子外端运动时绳子上的

7、定点M相对于圆心的张角．　当φ＝，时，求出渐开线上的对应点A，B，并求出A，B的距离．【解】　将φ＝代入参数方程，得把φ＝代入方程，得∴A(－π，－1)，点B(，1)．因此

8、AB

9、＝＝2，故点A、B间的距离为2.圆的摆线的参数方程　已知一个圆的摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方程以及对应的圆的渐开线的参数方程．【思路探究】　根据圆的摆线的参数方程(φ为参数)，只需把点(2,0)代入参数方程求出r的表达式，根据表达式求出r的最大值，再确定对应的摆线和渐开线的参数方程即可．【自主解

10、答】　令y＝0，可得r(1－cosφ)＝0，由于r>0，即得cosφ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)．代入x＝r(φ－sinφ)，得x＝r(2kπ－sin2kπ)．又因为x＝2，(1)将消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.将代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.(2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.由解得或所以C1与C2

11、交点的极坐标分别为(，)，(2，)．所以r(2kπ－sin2kπ)＝2，即得r＝(k∈Z)．又由实际可知r>0，所以r＝(k∈N＋)．易知，当k＝1时，r取最大值为.代入即可得圆的摆线的参数方程为(φ为参数)圆的渐开线的参数方程为(φ为参数)．　根据摆线的定义和求解参数方程的过程可知其中的参数φ是指圆上定点相对于定直线与圆的切点所张开的角度．　已知一个圆的摆线方程是，(φ为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程．【解】　首先根据摆线的参数方程可知圆的半径为4，所以面积为16π，该圆对应的渐开线

12、的参数方程是：(φ为参数)．真题赏析　(教材第42页习题2.4，第2题)当φ＝，时，求出渐开线上的对应点A，B，并求出点A，B间的距离．　(2013·大连模拟)已知圆C的参数方程是(α为参数)和直线l对应的普通方程是x－y－6＝0.(1)如果把圆心平移到原点O，请问平移后圆和直线有什么位置关系？(2)写出平移后圆的渐开线方程．【命题意图】　本题主要考查圆的参数方程和圆的渐开线的参数方程等基础知识，以及直线与圆的位置关系，考查考生的转化与化归