《摆线》教学案3

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1、《摆线》教学案3教学目标1．了解平摆线和渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程．2．了解平摆线和渐开线在实际中的作用．教学过程知识梳理一、平摆线1．平摆线(旋轮线)一个圆在平面上沿着一条直线无滑动地滚动时，我们把圆周上一定点的运动轨迹叫作______(或旋轮线)，如图．2．平摆线(旋轮线)的参数方程半径为r的圆的平摆线的参数方程为(－∞＜α＜＋∞)．3．平摆线的性质当圆滚动半周时，过定点M的半径转过的角度是π，点M到达最高点____，再滚动半周，点M到达______，这时圆周和x轴又相切于点M，得到平摆线的一拱．圆滚动一周时，平摆线

2、出现一个周期．平摆线上点的纵坐标最大值是____，最小值是____，即平摆线的拱高为____．【做一做1】已知一个圆的参数方程为(θ为参数)．那么圆的平摆线方程中与参数φ＝对应的点A与点B之间的距离为(　　)．A．－1B．C．D．1．圆的平摆线的参数方程中的参数的几何意义剖析：根据圆的平摆线的定义和建立参数方程的过程，可以知道其中的字母r是指圆的半径，参数α是过圆周上点M的半径与过圆与x轴切点的半径的夹角．参数的几何意义可以在解决问题中加以引用，简化运算过程．当然这个几何意义还不是很明显，直接使用还要注意其取值的具体情况．答案：一、1．

3、平摆线2．r(α－sinα)　r(1－cosα)3．(πr,2r)　(2πr,0)　2r　0　2r【做一做1】C　根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的平摆线的参数方程为(φ为参数)，把φ＝代入参数方程中可得即A.∴

4、AB

5、＝＝.二、1．相切　渐开线　基圆2．r(cosφ＋φsinφ)　r(sinφ－φcosφ)【做一做2－1】(φ为参数)　r＝4，∴(φ为参数)．【做一做2－2】　当φ＝时，∴A.当φ＝π时，∴B(－1，π)．∴

6、AB

7、＝＝＝.题型一求平摆线的参数方程【例1】已知一个圆的平摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径

8、最大时该平摆线的参数方程．分析：根据圆的平摆线的参数方程(φ为参数)，只需把点(2,0)代入参数方程求出r的表达式，根据表达式求出r的最大值，再确定对应的平摆线的参数方程即可．反思：要熟知平摆线的参数方程及每个字母的含义．题型二求渐开线的参数方程【例2】求半径为10的基圆的渐开线的参数方程．分析：代入参数方程公式即可．反思：求渐开线的参数方程，只需知道半径即可．题型三平摆线、渐开线的参数方程的应用【例3】求平摆线(0≤t＜2π)与直线y＝1的交点的直角坐标．分析：利用参数方程求出t的三角函数值，从而求出点的坐标．反思：解此类题，应明确相

9、应参数的意义．答案：【例1】解：令y＝0，可得r(1－cosφ)＝0，由于r＞0，即得cosφ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)．代入x＝r(φ－sinφ)，得x＝r(2kπ－sin2kπ)．又因为x＝2，所以r(2kπ－sin2kπ)＝2，即得r＝(k∈N＋)．易知，当k＝1时，r取最大值为.代入即可得圆的平摆线的参数方程为(φ为参数)．【例2】解：∵r＝10，∴参数方程为(φ为参数)．【例3】解：由题意知，y＝1－cost＝1，∴cost＝0，∴sint＝1.∴t＝2kπ＋(k∈Z)，又∵0≤t＜2π，∴t＝.∴x＝－1.∴交点的直角坐

10、标为.1半径为2的圆的渐开线方程是(　　)．A．(φ为参数)B．(φ为参数)C．(φ为参数)D．(φ为参数)2半径为4的圆的平摆线参数方程为(　　)．A．(φ为参数)B．(φ为参数)C．(φ为参数)D．(φ为参数)3面积为36π的圆的平摆线参数方程为__________．4已知圆C的参数方程是(α为参数)，直线l对应的普通方程是x－y－＝0.(1)如果把圆心平移到原点O，请判断平移后圆和直线的位置关系？(2)写出平移后圆的平摆线方程．(3)求平摆线和x轴的交点．答案：1．A2．C　把r＝4代入平摆线参数方程即可．3．(φ为参数)　S＝3

11、6π，∴r＝6.∴平摆线参数方程为(φ为参数)．4．解：(1)圆C平移后圆心为O(0,0)，它到直线x－y－6＝0的距离为d＝＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆相切．(2)由于圆的半径是6，所以平摆线的参数方程是(φ为参数)．(3)令y＝0，得6－6cosφ＝0⇒cosφ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)．则x＝12kπ(k∈Z)，即圆的平摆线和x轴的交点为(12kπ，0)(k∈Z)．