《4.4.4 平摆线与圆的渐开线》导学案

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1、《4.4.4平摆线与圆的渐开线》导学案学习目标:1.了解圆的渐开线的参数方程,了解摆线的生成过程及它的参数方程.2.学习用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤学习重点:圆的渐开线的参数方程,摆线的参数方程学习难点:用向量知识推导运动轨迹曲线的方法学习过程:知识回顾1复习:圆的参数方程探究:把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上,在绳的外端系上一支铅笔,将绳子拉紧,保持绳子与圆相切而逐渐展开,那么铅笔会画出一条曲线｡这条曲线的形状怎样?能否求出它的轨迹方程?动点(笔尖)满足什么几何条件?我们可以把一条没有弹性的绳子绕在一个圆盘上,在绳的外端系上一枝

2、铅笔,将绳子拉紧,保持绳子与圆相切,逐渐展开,那么铅笔画出的曲线就是圆的渐开线,相应的定圆叫做基圆(如右图).也可以使用计算机在软件中进行模拟渐开线的图象.通过模拟中的动态过程理解渐开线的形状和形成原理,加深对渐开线概念和含义的理解.其实质就是直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹.二､摆线的概念和产生过程圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹.我们可以在自行车轮子上喷一个白色的印记,观察自行车在笔直的道路上运动时形成的轨迹来理解圆的摆线,也可以借助教具或计算机软件,观察圆在直线上滚动时圆上定点的轨迹.圆的摆线又

3、叫旋轮线.三､圆的渐开线和摆线的参数方程对于圆的渐开线,我们以基圆圆心O为原点,一条直径所在直线为x轴建立直角坐标系,根据动点满足的条件和向量的有关性质可以得到圆的渐开线的参数方程为(φ为参数).同样道理,根据摆线上任意一点的运动轨迹,取定直线为x轴,动点的其中一个位置为原点建立直角坐标系,根据几何知识可得圆的摆线的参数方程为(φ为参数).四､圆的渐开线和摆线的参数方程中的参数φ的几何意义根据渐开线的定义和求解参数方程的过程,可知其中的字母r是指基圆的半径,而参数φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M相对于圆心的张角.如图(1),其

4、中的∠AOB即是角φ.显然点M由参数φ唯一确定.在我们解决有关问题时可以适当利用其几何意义,把点的坐标转化为与三角函数有关的问题,使求解过程更加简单.同样,根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程可知其中的字母r是指定圆的半径,它决定了摆线的某方面的大小情况.参数φ是指圆上定点相对于某一定点运动所张开的角度大小.如图(2),根据参数的几何意义也可以在解决问题中加以引用,简化运算过程.当然这个几何意义还不是很明显,直接使用还要注意其取值的具体情况.(1)(2)五､用参数方程描述运动规律的特点有些重要但较复杂的曲线(例如圆的渐开线),建

5、立它们的普通方程比较困难,甚至不可能,列出的方程既复杂又不易理解,从普通方程看不出曲线的坐标所满足条件的含义.如圆的渐开线的普通方程,可以根据其参数方程(φ为参数)消去参数φ得到根据方程画出曲线十分费时,而利用参数方程把两个变量x､y间接地联系起来,常常比较容易,方程简单明确,且画图也不太困难.对于参数方程,我们可以根据参数的取值求出坐标的关系,相比之下比普通方程更为直观.所以,在研究圆的渐开线和圆的摆线时主要使用参数方程,而不去讨论其普通方程.1.圆的摆线的参数方程是(φ是参数).2.圆的渐开线的参数方程是(t是参数).3.圆的摆线就是一

6、个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹.4.我们可以把一条没有弹性的绳子绕在一个圆盘上,在绳的外端系上一支铅笔,将绳子拉紧,保持绳子与圆相切,逐渐展开,那么铅笔画出的曲线就是圆的渐开线,相应的定圆叫做基圆(如图).重难突破例1.给出某渐开线的参数方程(φ为参数),根据参数方程可以看出该渐开线的基圆半径是_________,且当参数φ取时,对应的曲线上的点的坐标是_______.例2求半径为4的圆的渐开线参数方程变式训练1当,时,求圆渐开线上对应点A､B坐标并求出A､B间的距离｡练2求圆的渐开线上当对应的点的直角坐标｡例3求半径为

7、2的圆的摆线的参数方程变式训练3求摆线与直线的交点的直角坐标当堂检测1.关于渐开线和摆线的叙述,正确的是()A.只有圆才有渐开线B.渐开线和摆线的定义是一样的,只是绘图的方法不一样,所以才得到了不同的图形C.正方形也可以有渐开线D.对于同一个圆,如果建立的直角坐标系的位置不同,画出的渐开线形状就不同2.给出下列说法:①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程;②圆的渐开线也可以转化为普通方程,但是转化后的普通方程比较麻烦,且不容易看出坐标之间的关系,所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题;③在求圆的摆线和渐开线方程时,如果建立的坐标系原点和坐标轴

8、选取不同,可能会得到不同的参数方程;④圆的渐开线和x轴一定有交点而且是唯一的交点.其中正确的说法有()A.①③B.②④C.②③D.①③④3.已知圆的渐开线的参数方程