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《高中数学4.4参数方程4.4.4参数方程中曲线欣赏——平摆线、圆的渐开线知识导航学案.》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、4.4.4参数方程中曲线欣赏一一平摆线、圆的渐开线自主整理1•平摆线的参数方程为（B是参数）.答案:[Un?[y=r(l一cos8)2.平摆线是由无数个呈排列的拱组成，每个拱的高为,拱的底为,即在x轴上每隔拱将重复一次.答案：周期性2r2nr2“3.圆的渐开线的参数方程为（0是参数，其中r为基圆的半径）.答案：＜x=厂(cos&+&sin&)[y=厂(sin&-&cos&)高手笔记1.平摆线的形成原理设想白行车外胎上粘了一块口香糖，车轮在平地上向前沿直线滚动时，口香糖就在空中描绘出一条曲线，这条曲线就是平摆线，也称旋轮线（如图
2、所示）.原理：当一动圆沿一条线作纯滚动时，动圆上任意点的轨迹称为摆线.引导动圆滚动的线称为导线.当动圆沿直导线滚动时形成平摆线；当导线为圆，动圆在导圆上作外切滚动时形成外摆线，作内切滚动吋形成内摆线.2.圆的渐开线的形成原理把一条没有弹性的细绳绕在一个固定不动的圆盘上，铅笔系在绳的外端，把绳拉直，然后绕圆盘逐渐展开，保持细绳始终与圆相切，笔所画岀的曲线，即细绳端点的轨迹，叫做圆的渐开线，圆盘就叫渐开线的基圆（如图所示）.名师解惑1•我们知道圆、椭圆、直线的参数方程中，参数都具有相应的几何意义，根据其几何意义可以给我们研究问题带來
3、很多方便.那么，圆的渐开线和摆线的参数方程中的参数（）是否也具有一定的儿何意义呢？剖析：根据渐开线的定义和求解参数方程的过程，可知其小的字母r是指基圆的半径，而参数0是指绳子外端运动吋绳子上的定点P相对于圆心的张角•如下图，其中的ZA0B即是角显然点P由参数B唯一确定.在我们解决有关问题时可以适当利用其几何意义，把点的坐标转化为与三角函数有关的问题，使求解过程更加简单.同样，根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程，可知其屮的字母r是指定圆的半径,参数0是指圆上定点相对于某一定点运动所张开的角度大小.参数的几何意义可以在解决问题中
4、加以引用，简化运算过程.当然这个几何意义还不是很明显，直接使用还要注意其収值的具体情况.2.我们知道，圆锥曲线可以用普通方程表示，也可以用参数方程表示，还可以用极坐标方程表示，那么对于渐开线的参数方程是否也可以化为普通方程表示？剖析：用参数方程描述运动规律吋，常常比用普通方程更为直接、简便.有些重要但较复杂的曲线（例如圆的渐开线），建立它们的普通方程比较困难，甚至不可能，列出的方程既复杂又不易理解，从普通方程看不出曲线的坐标所满足条件的含义.如圆的渐开线普通方程,[x=厂（cos&+&sin0Y可以根据其参数方程4门门/（0为参
5、数），消去参数（）可得到普通方程，[y二心n&-&cos&）但根据方程画出曲线十分费时；而利用参数方程把两个变量x、y间接地联系起来，常常比较容易，方程简单明确，且画图也不太困难.而对于参数方程，我们可以根据参数的取值求出坐标的关系，相比Z下比普通方程更为直观.所以，在研究圆的渐开线和圆的摆线时主要使用参数方程，而不去讨论其普通方程.3.根据建立曲线的参数方程的过程，总结应用向量方法建立运动轨迹的参数方程的基本思路和步骤.剖析：（1）建立合适的坐标系；（2）取定某个角度（以弧度为单位）为参数；（3）用三角知识写出相关向量的坐标表
6、达式；（4）用向暈运算得到OM的坐标表达式，得到曲线的参数方程.讲练互动x=3cos&+3&sin&,【例题1】给出圆的渐开线的参数方程q.°八J（0为参数）.根据参数方程y-3sin&+30cos&7T可以看出该渐开线的基圆半径是,当参数9取丝时，对应的曲线上的点的坐标2是.解析：本题考查对渐开线参数方程的理解.根据一般情况下基圆半径为r的渐开线的参数方=厂（cos&+&sin0）,7t程'（（）为参数）进行对照可求r的值，然后把（）=丝分别代入x[y=r（sin&-&cos&）2和y,即得对应的点的坐标.fx=3（cos0+
7、&sin&）,所给的圆的渐开线的参数方程可化为彳八门「所以基圆半径r=3.然后把（）[y=3（sin&-&cos&）,拧分别代入X和y,可得兀JC兀x=3(cos—+—sin—),222y=3(sin—-—cos—),2223兀bpx=T,丿=3.77S7T所以当参数0取仝时，对应的曲线上的点的坐标是（兰，3）・223龙答案：3（―,3）2绿色通道解答此类题目，一定要记住圆的渐开线的参数方程的形式，并且要知道每个字母的意义.变式训练1.写11!半径为2的基圆的渐开线方程.思路分析：直接利用圆的渐开线的参数方程公式.解:方程为X=
8、2(cos&+&sin&),y=2(sin&-&cos&)e是参数）.TTTT2.已知圆的直径为2,其渐开线上两点A、B对应的参数分別是一和一，求A、B两点的距32离.x=cos&+Osin&,思路分析：首先根据圆的直径可知半径为1，写出渐开线的参数方程，再根据
