《2. 圆的参数方程》导学案3

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1、《2.圆的参数方程》导学案3课标解读1.了解曲线的参数方程的概念与特点．2．理解圆的参数方程的形式和特点．3．运用圆的参数方程解决最大值、最小值问题.知识梳理1．参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数：①，并且对于t的每一个允许值，由方程组①所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程组①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y之间关系的变数t叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出的点的坐标间的关系的方程叫做普通方程．图2－1－12．圆的参数方程(1)如图2－1－1所示，设圆

2、O的半径为r，点M从初始位置M0开始出发，按逆时针方向在圆上运动，设M(x，y)，点M转过的角度是θ，则(θ为参数)，这就是圆心在原点，半径为r的圆的参数方程．(2)圆心为C(a，b)，半径为r的圆的普通方程与参数方程普通方程参数方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(θ为参数)思考探究　曲线的参数方程中，参数是否一定具有某种实际意义？在圆的参数方程中，参数θ有什么实际意义？【提示】　联系x、y的参数t(θ，φ，…)可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是无实际意义的任意实数．圆的参数方程中，其中参数θ的几何意义是OM0绕点O逆时针旋转到

3、OM的位置时，OM0转过的角度.课堂互动探究参数方程的概念例题1　已知曲线C的参数方程是(t为参数，a∈R)，点M(－3,4)在曲线C上．(1)求常数a的值；(2)判断点P(1,0)、Q(3，－1)是否在曲线C上？【思路探究】　(1)将点M的横坐标和纵坐标分别代入参数方程中的x，y，消去参数t，求a即可；(2)要判断点是否在曲线上，只要将点的坐标代入曲线的普通方程检验即可，若点的坐标是方程的解，则点在曲线上，否则，点不在曲线上．【自主解答】　(1)将M(－3,4)的坐标代入曲线C的参数方程得消去参数t，得a＝1.(2)由上述可得，曲线C的参数

4、方程是把点P的坐标(1,0)代入方程组，解得t＝0，因此P在曲线C上，把点Q的坐标(3，－1)代入方程组，得到这个方程组无解，因此点Q不在曲线C上．　点与曲线的位置关系满足某种约束条件的动点的轨迹形成曲线，点与曲线的位置关系有两种：点在曲线上、点不在曲线上．(1)对于曲线C的普通方程f(x，y)＝0，若点M(x1，y1)在曲线上，则点M(x1，y1)的坐标是方程f(x，y)＝0的解，即有f(x1，y1)＝0，若点N(x2，y2)不在曲线上，则点N(x2，y2)的坐标不是方程f(x，y)＝0的解，即有f(x2，y2)≠0.(2)对于曲线C的参数

5、方程(t为参数)，若点M(x1，y1)在曲线上，则对应的参数t有解，否则参数t不存在．　(2013·周口质检)已知曲线C的参数方程为(θ为参数，0≤θ<2π)．判断点A(2,0)，B(－，)是否在曲线C上？若在曲线上，求出点对应的参数的值．【解】　把点A(2,0)的坐标代入得cosθ＝1且sinθ＝0，由于0≤θ<2π，解之得θ＝0，因此点A(2,0)在曲线C上，对应参数θ＝0，同理，把B(－，)代入参数方程，得∴又0≤θ<2π，∴θ＝π，所以点B(－，)在曲线C上，对应θ＝π.圆的参数方程及应用例题2　设曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线

6、l的方程为x－3y＋2＝0，则曲线C上到直线l距离为的点的个数为(　　)A．1　　　　　　　　B．2C．3D．4【思路探究】　化参数方程为普通方程，根据圆心到直线l的距离与半径大小作出判定．【自主解答】　由得(x－2)2＋(y＋1)2＝9.曲线C表示以(2，－1)为圆心，以3为半径的圆，则圆心C(2，－1)到直线l的距离d＝＝<3，所以直线与圆相交．所以过圆心(2，－1)与l平行的直线与圆的2个交点满足题意，又3－d<，故满足题意的点有2个．【答案】　B1．本题利用三角函数的平方关系，消去参数；数形结合，判定直线与圆的位置关系．2．参数方程表

7、示怎样的曲线，一般是通过消参，得到普通方程来判断．特别要注意变量的取值范围．　已知直线y＝x与曲线(α为参数)相交于两点A和B，求弦长

8、AB

9、.【解】　由得∴(x－1)2＋(y－2)2＝4，其圆心为(1,2)，半径r＝2，则圆心(1,2)到直线y＝x的距离d＝＝.∴

10、AB

11、＝2＝2＝.例题3　如图2－1－2，已知点P是圆x2＋y2＝16上的一个动点，定点A(12,0)，当点P在圆上运动时，求线段PA的中点M的轨迹．图2－1－2【思路探究】　引入参数→化为参数方程→设动点M(x，y)求动点的参数方程→确定轨迹【自主解答】　设动点M(x，y)，∵

12、圆x2＋y2＝16的参数方程为(θ为参数)，∴设点P(4cosθ，4sinθ)，由线段的中点坐标公式，得x＝，且y＝，∴点M的轨迹方程为因此点M的轨迹是以点(6,0