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1、--绝密★启用前乐学教育菱形证明专题训练1.已知:如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,E,F为对角线AC上两点,且AE=CF,DF∥BE,AC平分∠BAD.求证:四边形ABCD为菱形. 【答案】∵AB∥CD, ∴∠BAE=∠DCF. ∵DF∥BE, ∴∠BEF=∠DFE, ∴∠AEB=∠CFD. 又∵AE=CF, ∴△AEB≌∠CFD, ∴AB=CD. ∵AB∥CD, ∴四边形ABCD是平行四边形. ∵AC平分∠BAD, ∴∠BAE=∠DAF. 又∠BAE=∠DCF, ∴∠DAF=∠DCF,---- ∴AD=CD, ∴四边形ABCD是菱形.2.如图，矩形
2、ABCD中，点O为AC的中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接BF交AC于点M，连接DE，BO.若∠COB=60°，FO=FC. 求证:(1)四边形EBFD是菱形;【答案】连接OD.∵点O为矩形ABCD的对角线AC的中点， ∴B,D, O三点共线且BD=DO=CO=AO. 在矩形ABCD中，AB∥DC，AB=DC，∴∠FCO=∠EAO. 在△CFO和△AEO中， ∴△CFO≌△AEO，∴FO=EO. 又∵BO=DO，∴四边形BEFD是平行四边形. ∵BO=CO，∠COB=60°， ∴△COB是等边三角形.∴∠OCB=60°. ∴∠FCO=∠
3、DCB-∠OCB=30°. ∵FO=FC，∴∠FOC=∠FCO=30°.---- ∴∠FOB=∠FOC+∠COB=90°. ∴EF⊥BD.∴平行四边形EBFD是菱形.(2)MB∶OE=3∶2.【答案】∵BO=BC，∴点B在线段OC的垂直平分线上. ∵FO=FC，∴点F在线段OC的垂直平分线上. ∴BF是线段OC的垂直平分线. ∴∠FMO=∠OMB=90°. ∴∠OBM=30°.∴OF=BF. ∵∠FOC=30°，∴FM=OF. ∴BM=BF-MF=2OF-OF=OF. 即FO=EO，∴BM∶OE=3∶2.3.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,B
4、D为AC边上的中线,过点C作CE⊥BD于点E,过点A作BD的平行线,交CE的延长线于点F,在AF的延长线上截取FG=BD,连接BG,DF.求证:----四边形BGFD是菱形. 【答案】∵FG∥BD,BD=FG,∴四边形BGFD是平行四边形. ∵CF⊥BD,AG∥BD,∴CF⊥AG.又∵∠ABC=90°,点D是AC的中点,∴BD=DF=AC, ∴平行四边形BGFD是菱形.4.如图,点O是菱形ABCD对角线的交点,DE∥AC,CE∥BD,连接OE. 求证:OE=BC. 【答案】∵DE∥AC,CE∥BD, ∴四边形OCED是平行四边形. ∵四边形ABCD是菱形,
5、 ∴AC⊥BD,OB=OD, ∴∠BOC=∠COD=90°, ∴四边形OCED是矩形,---- ∴∠ODE=90°,∵OB=OD,∠BOC=∠ODE=90°, ∴BC=,OE=, ∵DE=OC. ∴OE=BC.5.[2015·兰州中考,25] (9分)如图,四边形ABCD中,AB∥CD,AB≠CD,BD=AC. (1)求证:AD=BC;【答案】作BM∥AC,BM交DC的延长线于点M,则∠ACD=∠BMD. 1分 ∵AB∥CD,BM∥AC, ∴四边形ABMC为平行四边形. 2分 ∴AC=BM. ∵BD=AC,∴BM=BD. ∴∠BDM=∠BMD. ∴∠
6、BDC=∠ACD.---- 在△BDC和△ACD中, ∴△BDC≌△ACD. 4分 ∴BC=AD. 5分(2)若E,F,G,H分别是AB,CD,AC,BD的中点.求证:线段EF与线段GH互相垂直平分.【答案】连接EG,GF,FH,HE. 6分 ∵E,H为AB,BD的中点,∴EH=AD. 同理FG=AD,EG=BC,FH=BC. ∵BC=AD,∴EG=FG=FH=EH. 8分 ∴四边形EGFH为菱形, ∴EF与GH互相垂直平分. 9分6.[2015·长春中考,18] (7分)如图,CE是△ABC外角∠ACD的平分线,AF∥CD交CE于点F,FG∥
7、AC交CD于点G,求证:四边形ACGF是菱形. ----【答案】因为AF∥CD,FG∥AC, 所以四边形ACGF是平行四边形①, 又因为∠ACE=∠ECG,∠ECG=∠AFC, 所以∠ACE=∠AFC,所以AC=AF②, 由①②得四边形ACGF是菱形.7.[2010·上海中考，23]已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD(如图所示)，∠BAD的平分线AE交BC于点E，连结DE. (1)在图中，用尺规作∠BAD的平分线AE(保留作图痕迹，不写作法)，并证明四边形ABED是菱形；【答案】 ∵∠BAE＝∠DAE， ∠DAE＝∠BEA， ∴∠BAE＝∠BEA
8、，AB＝BE＝AD，---- AD∥BE，∴四边形ABED的平行四
