3.4基本不等式教学设计

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1、《基本不等式》教学设计一、教材分析本节课出自普通高中课程标准实验教科书人教A版数学必修五第三章第四节《基本不等式》的第一课时。本节课是在学习了不等关系，掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的基本不等式之一,为后续的学习打下基础，要进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题。基本不等式在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，学好基本不等式非常重要。二、学情分析本节授课对象是高一学生，学生已经学习了不等关系和不等式的性质，在初中学习了和的完全平方公式基础上，引导学生探究基本不等式并进行应用，高一学生学习热情高涨，探索知识兴趣强，但对数学知识迁移和类比

2、的能力还亟待提高，运算能力也不强，探索发现能力也需进一步提高。三、教学目标1、知识与技能（1）掌握基本不等式，了解推导过程；（2）运用基本不等式解决一些简单的求最值问题和证明问题；2、过程与方法(1)通过运算，推导，小组合作探究基本不等式；(2)通过观察，分析，探究基本不等式性质，通过实际应用解决问题；3、情感、态度与价值观(1)体验类比思想在探究数学知识时的重要意义与价值；(2)培养锲而不舍的探索精神和严密思考的良好学习习惯；(3)感受学习数学、探索发现的乐趣与成就感。四、教学重难点重点：基本不等式及应用和证明；难点：运用基本不等式应用解题。五、教法与学法教法：应用启发式教学，

3、以学生为主体，引导学生在自主探究过程中经历类比发现、归纳、演绎推理等过程，体会类比和数形结合的思想。同时利用PPT辅助教学。学法：应用探究式学法，引导学生自主探索，探究向量的表示方法，合作学习，理解和掌握基本不等式。六、教学过程【环节一：巧设疑云，导入新课】【师生活动一】回顾：求函数f（x）=x+1x在（0，+∞）上的最小值提示：证明函数在（0，1）上单调递减，（1，+∞）上单调递增；【师生活动二】请学生重温“赵爽弦图”，比较正方形ABCD的面积S和里面的四个小三角形面积之和S’的大小，有怎样的不等关系？我们考虑4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为。由图可知，即．当直角三角

4、形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有。【师生活动三】先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形，再用这两个三角形拼接构造出一个矩形（两边分别等于两个直角三角形的直角边，多余部分折叠）．假设两个正方形的面积分别为和（）【设计意图】通过实际问题情境引入，使学生带着问题进入新课，激发学生的学习兴趣。【环节二：深入学习，探究新知】【师生活动一】特别地，当a>0,b>0时，在不等式中，以、分别代替a、b，得到什么？【师生活动二】用分析法证明基本不等式证明：（分析法）：由于，于是要证明，只要证明，即证，即，所以，（当时取等号）【师生活动三】探究基本不

5、等式的几何意义借助初中阶段学生熟知的几何图形，引导学生探究不等式的几何解释，通过数形结合，赋予不等式几何直观。进一步领悟不等式中等号成立的条件。如图：AB是圆的直径，点C是AB上一点，CD⊥AB，AC=a,CB=b，几何解释实质可认为是：在同一半圆中，半径不小于半弦（直径是最长的弦）；或者认为是，直角三角形斜边的一半不小于斜边上的高。【师生活动四】求解引入问题试用基本不等式求函数f（x）=x+1x在（0，+∞）上的最小值【设计意图】以学生为主体，引导学生探究。学生通过自己阅读书本内容，同时通过小组讨论自主学习，有利于学生理解零向量和单位向量概念，同时培养合作学习意识。【环节三：应

6、用所学，解决问题】【师生活动一】例1、已知a，b，c为任意实数，求证：a2+b2+c2≥ab+bc+ca解：利用基本不等式a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时取到等号同理，b2+c2≥2bc，当且仅当b=c时取到等号；a2+c2≥2ac，当且仅当a=c时取到等号；2a2+2b2+2c2>2ab+2bc+2ca即a2+b2+c2>ab+bc+ca当a=b=c时，a2+b2+c2=ab+bc+ca综上所述，a2+b2+c2≥ab+bc+ca当且仅当a=b=c时取到等号。【师生活动二】总结使用基本不等式的注意点：（1）是否均为正数（2）不等号的方向（3）等号是否能够取到【师生活动三】练

7、一练：1、已知x，y为整数，求证：（x+y)（x2+y2）（x3+y3)≥8x3y32、已知函数fx=4x+axx>0,a>0在x=3时取得最小值，求a的值。【师生活动四】基本不等式的推广：1、2、当ab>0时，ba+ab≥2，当ab＜0时，ba+ab≤-2.3、对于实数a1，a2，⋯an>0，a1+a2+⋯+ann≥na1a2⋯an（当且仅当a1=a2=⋯=an）【环节四：归纳总结，梳理提升】【师生活动】对本堂课所学知识进行梳理总结，对本堂课用到的解题思路以及易错点再做强调。【