2018_2019学年高中数学第一章常用逻辑用语1.4全称量词与存在量词讲义（含解析）新人教a版

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1、预习课本P21～25，思考并完成以下问题1．全称量词、全称命题的定义是什么？　　　2．存在量词、特称命题的定义是什么？　　　3．全称命题与特称命题的否定分别是什么命题？　　　1．全称量词与全称命题全称量词所有的、任意一个、一切、每一个、任给符号__∀__全称命题含有全称量词的命题形式“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)”2．存在量词与特称命题存在量词存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的符号表示__∃__特称命题含有存在量词的命题形式“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为“∃x

2、0∈M，p(x0)”3．全称命题与特称命题的否定知识点原命题命题的否定全称命题的否定p：∀x∈M，p(x)綈p：∃x0∈M，綈p(x0)特称命题的否定p：∃x0∈M，p(x0)綈p：∀x∈M，綈p(x)[点睛]　(1)全称命题的否定全称命题的否定是一个特称命题，否定全称命题时关键是找出全称量词，明确命题所提供的性质．(2)特称命题的否定特称命题的否定是一个全称命题，否定特称命题时关键是找出存在量词，明确命题所提供的性质．1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在全称命题和特称命题中，量词都可以省略(　　)

3、(2)“有的等差数列也是等比数列”是特称命题(　　)(3)“三角形内角和是180°”是全称命题(　　)答案：(1)×　(2)√　(3)√2．命题“∀x∈R，

4、x

5、＋x2≥0”的否定是(　　)A．∀x∈R，

6、x

7、＋x2<0　　B．∀x∈R，

8、x

9、＋x2≤0C．∃x0∈R，

10、x0

11、＋x<0D．∃x0∈R，

12、x0

13、＋x≥0答案：C3．下列全称命题为真命题的是(　　)A．所有的质数是奇数B．∀x∈R，x2＋1≥1C．对每一个无理数x，x2也是无理数D．所有的能被5整除的整数，其末位数字都是5答案：B4．命题p：∃x0∈R，x＋2x0＋5<

14、0是________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)，它的否定为綈p：______________.答案：特称命题　假　∀x∈R，x2＋2x＋5≥0全称命题与特称命题的判断[典例]　判断下列语句是全称命题，还是特称命题．(1)凸多边形的外角和等于360°；(2)有的向量方向不定；(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1；(4)矩形的对角线不相等；(5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．[解]　(1)可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称命题．(2)

15、含有存在量词“有的”，故是特称命题．(3)含有全称量词“任意”，故是全称命题．(4)可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称命题．(5)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称命题．判断一个语句是全称命题还是特称命题的思路[注意]　全称命题可能省略全称量词，特称命题的存在量词一般不能省略．　　　　[活学活用]用全称量词或存在量词表示下列语句：(1)不等式x2＋x＋1>0恒成立；(2)当x为有理数时，x2＋x＋1也是有理数；(3)等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ对有些角α，β成立；(4)方程3x－2y＝10有整数解．解

16、：(1)对任意实数x，不等式x2＋x＋1>0成立．(2)对任意有理数x，x2＋x＋1是有理数．(3)存在角α，β，使sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．(4)存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立.全称命题、特称命题的真假判断[典例]　(1)下列命题中的假命题是(　　)A．∃x0∈R，lgx0＝0　　　B．∃x0∈R，tanx0＝1C．∀x∈R，x2>0D．∀x∈R，ex>0(2)下列命题中的真命题是(　　)A．∀φ∈R，函数f(x)＝sin(2x＋φ)都不是偶函数B．∃α0，β0∈R，使cos(α0＋β0)＝cosα0

17、＋cosβ0C．向量a＝(2,1)，b＝(－1,0)，则a在b方向上的投影为2D．“

18、x

19、≤1”是“x≤1”的既不充分又不必要条件[解析]　(1)对于A，x＝1时，lgx＝0；对于B，x＝kπ＋(k∈Z)时，tanx＝1；对于C，当x＝0时，x2＝0，所以C中命题为假命题；对于D，ex>0恒成立．(2)对于A，当φ＝时，f(x)＝cos2x，为偶函数，故A为假命题；对于B，令α0＝，β0＝－，则cos(α0＋β0)＝cos＝，cosα0＋cosβ0＝＋0＝，cos(α0＋β0)＝cosα0＋cosβ0成立，故B为真命题；对于C，向

20、量a＝(2,1)，b＝(－1,0)，则a在b方向上的投影为＝＝－2，故C为假命题；对于D，

21、x

22、≤1，即－1≤x≤1，故充分性成立，若x≤1，则

23、x

24、≤1不一定成立，所以“

25、x

26、≤1”为“x≤1”的充分不必要条件，故D为假命题．[答案]　(1)C