高中数学第一章常用逻辑用语1.4全称量词与存在量词1.4.1_1.4.2全称量词、存在量词学案（含解析）

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1、§1.4　全称量词与存在量词1.4.1　全称量词1.4.2　存在量词学习目标　1.理解全称量词、全称命题的定义.2.理解存在量词、特称命题的定义.3.会判断一个命题是全称命题还是特称命题，并会判断它们的真假．知识点一　全称量词与全称命题思考　观察下列命题：(1)所有偶函数的图象都关于y轴对称；(2)每一个四边形都有外接圆；(3)任意实数x，x2≥0.以上三个命题有什么共同特征？答案　都使用了表示“全部”的量词，如“所有”、“每一个”、“任意”．梳理　全称量词所有的、任意一个、一切、每一个、任给符号∀全称命题含有全称量词

2、的命题形式“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)”知识点二　存在量词与特称命题思考　观察下列命题：(1)有些矩形是正方形；(2)存在实数x，使x>5；(3)至少有一个实数x，使x2－2x＋2<0.以上三个命题有什么共同特征？答案　都使用了表示“存在”的量词，如“有些”、“存在”、“至少有一个”．梳理　存在量词存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的符号表示∃特称命题含有存在量词的命题形式“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为“∃x0∈M，p(x0)”1．“有些”“某个”

3、“有的”等短语不是存在量词．(　×　)2．全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”．(　√　)3．全称命题中一定含有全称量词，特称命题中一定含有存在量词．(　×　)类型一　全称命题与特称命题的辨析例1　判断下列语句是全称命题，还是特称命题．(1)凸多边形的外角和等于360°；(2)有的向量方向不定；(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1；(4)矩形的对角线不相等；(5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．考点　全称量词及全称命题的真假判断题点　识别全称命题解　(1)可以改为所有的凸

4、多边形的外角和等于360°，故为全称命题．(2)含有存在量词“有的”，故是特称命题．(3)含有全称量词“任意”，故是全称命题．(4)可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称命题．(5)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称命题．反思与感悟　判定命题是全称命题还是特称命题，主要方法是看命题中含有全称量词还是存在量词．要注意的是有些全称命题并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断．跟踪训练1　将下列命题用“∀”或“∃”表示．(1)实数的平方是非负数；(2)方程ax2＋2x＋1＝0(a<0)至少存在一个

5、负根；(3)若直线l垂直于平面α内任一直线，则l⊥α.考点　全称量词及全称命题的真假判断题点　全称命题的符号表示解　(1)∀x∈R，x2≥0.(2)∃x0<0，ax＋2x0＋1＝0(a<0)．(3)若∀a⊂α，l⊥a，则l⊥α.类型二　全称命题与特称命题的真假判断例2　判断下列命题的真假．(1)∃α，β，cos(α－β)＝cosα－cosβ；(2)存在一个函数既是偶函数又是奇函数；(3)每一条线段的长度都能用正有理数表示；(4)存在一个实数x0，使等式x＋x0＋8＝0成立．考点　存在量词与特称命题的真假判断题点　特称命

6、题真假的判断解　(1)真命题，例如α＝，β＝，符合题意．(2)真命题，函数f(x)＝0既是偶函数又是奇函数．(3)假命题，如：边长为1的正方形的对角线长为，它的长度就不是有理数．(4)假命题，因为该方程的判别式Δ＝－31<0，故无实数解．反思与感悟　要判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)都成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题．要判定特称命题“∃x0∈M，p(x0)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即

7、可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个特称命题就是假命题．跟踪训练2　判断下列命题的真假：(1)有一些奇函数的图象过原点；(2)∃x0∈R,2x＋x0＋1<0；(3)∀x∈R，sinx＋cosx≤.考点　存在量词与特称命题的真假判断题点　特称命题真假的判断解　(1)该命题中含有“有一些”，是特称命题．如y＝x是奇函数，其图象过原点，故该命题是真命题．(2)该命题是特称命题．∵2x＋x0＋1＝22＋≥>0，∴不存在x0∈R，使2x＋x0＋1<0.故该命题是假命题．(3)该命题是全称命题．∵sinx＋c

8、osx＝sin≤恒成立，∴对任意实数x，sinx＋cosx≤都成立，故该命题是真命题．类型三　由含量词的命题求参数例3　对于任意实数x，不等式sinx＋cosx>m恒成立，求实数m的取值范围．考点　全称量词及全称命题的真假判断题点　恒成立求参数的范围解　令y＝sinx＋cosx，x∈R，则y＝sinx＋cosx＝sin∈[－，]，