高中数学第一章常用逻辑用语1.4全称量词与存在量词学案含解析

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1、1.4全称量词与存在量词全称量词和全称命题[提出问题]观察下列语句：(1)2x是偶数；(2)对于任意一个x∈Z,2x都是偶数．(3)所有的三角函数都是周期函数．问题1：以上语句是命题吗？提示：(1)不是命题，(2)(3)是命题．问题2：上述命题中强调的是什么？提示：(2)强调“任意一个x∈Z”，(3)强调“所有的三角形”．[导入新知]全称量词和全称命题全称量词所有的、任给、每一个、对一切符号∀全称命题含有全称量词的命题形式“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为∀x∈M，p(x)[化解疑难]全称命题是强调命题的一般性，是对于某一个给定集合的所有元素是否具有某种性质来说的.存

2、在量词与特称命题[提出问题]观察下列语句：(1)存在一个x0∈R，使2x0＋2＝10；(2)至少有一个x0∈R，使x0能被5和8整除．问题1：以上语句是命题吗？提示：都是命题．问题2：上述命题有什么特点？提示：两命题中变量x0取值有限制，即“存在一个x0∈R”，“至少有一个x0∈R”．[导入新知]10存在量词和特称命题存在量词存在一个、至少有一个、有一个、对某个、有些符号表示∃特称命题含有存在量词的命题形式“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”，可用符号简记为∃x0∈M，p(x0)[化解疑难]特称命题是强调命题的存在性，是对于某一个给定集合的某些元素是否具有某种性质来说的．含有一个量

3、词的命题的否定[提出问题]观察下列命题：(1)有的函数是偶函数；(2)三角形都有外接圆．问题1：上述命题是全称命题还是特称命题？提示：(1)是特称命题，(2)是全称命题．问题2：上述命题的量词各是什么？其量词的“反面”是什么？提示：有的；所有的．所有的；存在一个．[导入新知]含有一个量词的命题的否定[化解疑难]一般命题的否定通常是保留条件否定其结论，得到真假性完全相反的两个命题；含有一个量词的命题的否定，是在否定结论p(x)的同时，改变量词的属性，即全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词．全称命题与特称命题10[例1]　判断下列语句是全称命题，还是特称命题．(1)凸多边形的外角和等

4、于360°；(2)有的向量方向不定；(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1；(4)矩形的对角线不相等；(5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．[解]　(1)可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称命题．(2)含有存在量词“有的”，故是特称命题．(3)含有全称量词“任意”，故是全称命题．(4)可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称命题．(5)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称命题．[类题通法]判定命题是全称命题还是特称命题，主要方法是看命题中含有全称量词还是存在量词．要注意的是有些全称命题并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义

5、去判断．[活学活用]用全称量词或存在量词表示下列语句：(1)不等式x2＋x＋1＞0恒成立；(2)当x为有理数时，x2＋x＋1也是有理数；(3)等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ对有些角α，β成立；(4)方程3x－2y＝10有整数解．解：(1)对任意实数x，不等式x2＋x＋1＞0成立．(2)对任意有理数x，x2＋x＋1是有理数．(3)存在角α，β，使sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．(4)存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立.全称命题、特称命题的真假[例2]　指出下列命题是全称命题还是特称命题，并判断它们的真假．(1)∀x∈N,2x＋1是奇数；(2)存在一个x0∈R，

6、使＝0；(3)存在一组m，n的值，使m－n＝1；10(4)至少有一个集合A，满足A{1,2,3}．[解]　(1)是全称命题．因为对任意自然数x,2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题．(2)是特称命题．因为不存在x0∈R，使＝0成立，所以该命题是假命题．(3)是特称命题．当m＝4，n＝3时，m－n＝1成立，所以该命题是真命题．(4)是特称命题．存在A＝{3}，使A{1,2,3}成立，所以该命题是真命题．[类题通法](1)要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所

7、说的“举出一个反例”)．(2)要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x0使p(x0)成立即可；否则，这个特称命题就是假命题．[活学活用]判断下列命题的真假：(1)p：所有的单位向量都相等；(2)p：任一等比数列{an}的公比q≠0；(3)p：∃x0∈R，x＋2x0＋3≤0.解：(1)p是全称命题，是假命题．若两个单位向量e1，e2方向不相同，虽然有

8、e1

9、＝

10、e2

11、＝1，但e1≠e2.(2)p是全称命题，是真命题．根据等比数