高中数学第一章常用逻辑术语1.4全称量词与存在量词1.4.1全称量词1.4.2存在量词讲义新人教A版.docx

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1、1．4.1　全称量词1．4.2　存在量词1．全称量词和全称命题全称量词对所有的、对任意一个、对一切、对每一个、任给符号∀全称命题含有全称量词的命题形式“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可简记为“∀x∈M，p(x)”2．存在量词和特称命题存在量词存在一个、至少有一个、有一个、对某个、有些、有的符号∃特称命题含有存在量词的命题形式“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”，可用符号记为“∃x0∈M，p(x0)”1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一个全称命题可以包含多个变量．(　　)(2)全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”．(　　)(

2、3)全称命题一定含有全称量词，特称命题一定含有存在量词．(　　)答案　(1)√　(2)√　(3)×　　　　　　　　　　　　　　　　2．做一做(1)(教材改编P23T1,2)下列命题中，假命题是(　　)A．∀x∈R,3x－2>0B．∀x∈N*，(x－2)2>0C．∃x∈R，lgx0≤2D．∃x∈R，tanx0＝2(2)命题“有些长方形是正方形”含有的量词是________，该量词是________(填“全称”或“存在”)量词．(3)“负数没有对数”是________(填“全称”或“特称”)命题．(4)若命题“∀x∈(3，＋∞)，x>a”是真命题，则a的取值范围是___

3、_____．答案　(1)B　(2)有些　存在　(3)全称　(4)(－∞，3]　　　　　　　　　　　　　　　　探究1　　全称命题与特称命题的判断例1　判断下列命题是全称命题还是特称命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题．(1)自然数的平方大于或等于零；(2)圆x2＋y2＝1上存在一个点到直线y＝x＋1的距离等于圆的半径；(3)有的函数既是奇函数又是增函数；(4)对于数列，总存在正整数n0，使得an0与1之差的绝对值小于0.01.[解]　(1)是全称命题，表示为∀x∈N，x2≥0.(2)是特称命题，表示为∃(x0，y0)∈{(x，y)

4、x2＋y2＝1}，满足＝1.(3

5、)是特称命题，∃f(x)∈{函数}，f(x)既是奇函数又是增函数．(4)是特称命题，∃n0∈N*，

6、an0－1

7、<0.01，其中an0＝.拓展提升判断一个语句是全称命题还是特称命题的步骤(1)判断语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全称命题或特称命题．(2)若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称命题，含有存在量词的命题是特称命题．(3)当命题中不含量词时，要注意理解命题含义的实质．【跟踪训练1】　判断下列语句是全称命题，还是特称命题．(1)凸多边形的外角和等于360°；(2)有的向量方向不定；(3)有些素数的和仍是素数；(4)若一个四边形是菱形

8、，则这个四边形的对角线互相垂直．解　(1)可以改写为：所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称命题．(2)含有存在量词“有的”，故为特称命题．(3)含有存在量词“有些”，故为特称命题．(4)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称命题．探究2　　全称命题与特称命题的真假例2　判断下列命题的真假．(1)有些三角形的重心在某一边上；(2)∃x0，T≠2π，使sin(x0＋T)＝sinx0；(3)∀x∈R，x2＋2>0；(4)所有的直线都有斜率．[解]　(1)三角形的三条边的中线的交点叫做三角形的重心，所有三角形的重心都在三角形内部，所以有些三角形的重心在某一边

9、上是假命题．(2)∃x0＝，T＝，使sin＝cos＝sin＝，所以是真命题．(3)由于∀x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0.所以命题“∀x∈R，x2＋2>0”是真命题．(4)当直线的倾斜角等于90°时不存在斜率，故所有的直线都有斜率是假命题．拓展提升1.全称命题的真假判断一般从全称命题为假命题入手，寻找使其为假命题的反例，找不到，再从证明∀x∈M，p(x)成立入手，判定其为真命题．2．特称命题的真假判断一般从特称命题为真命题入手，寻找使其为真命题的特例，找不到，再从证明∀x∈M，p(x)不成立入手，证明其为假命题．【跟踪训练2】　判断下列命

10、题的真假．(1)任意两向量a，b，若a·b>0，则a，b的夹角为锐角；(2)∃x0，y0为正实数，使x＋y＝0；(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P.解　(1)因为a·b＝

11、a

12、

13、b

14、cos〈a，b〉>0，所以cos〈a，b〉>0，又0≤〈a，b〉≤π，所以0≤〈a，b〉<，即a，b的夹角为零或锐角．故它是假命题．(2)因为x2＋y2＝0时，x＝y＝0，所以不存在x0，y0为正实数，使x＋y＝0，故它是假命题．(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题．探究3　　含有量词的命题的应用例3　(1)已知命题“∀x∈[1