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《4 §23 合同公理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、§2.3合同公理1合同公理基本关系（线段的合同关系，角的合同关系）：一线段合同于一线段．记为．一角合同于一角，记为．注由于线段的端点及角的边均无序，故1、、、的意义相同．2、、和的意义相同．合同关系受下列合同公理的制约.合同公理直线合同公理（迁线公理）设，是直线上的两点，是（同一或另一）直线上的一点，则在上的已知一侧恒有一点，使线段（条件存在公理）．换言之，每个线段可以放置在任意直线的任意已知点的任意已知一侧．注要求线段可移，但未要求在所设条件下的移法唯一（后者可证，见下面的推论4）． 若两线段（可以相同）都合同于第三线段，则这两线段也合同．注非传递性．推论1（反身
2、性） ．证明由(),,有().推论2（对称性） 若，则．课堂练习.提示用反身性和.推论3（传递性） 若且，则．课堂练习.提示用对称性和.（线段的可加性） 开线段、均在直线上而无公共点，开线段、均在同一直线或另一直线上，亦无公共点．若，，则．10平面合同公理 已知平面上的一角，平面上的一直线的一侧，以及上的以点为原点的一条射线，则上恰有一射线，使，且在的已知一侧（条件存在公理）．换言之，每个角可唯一地放置在已知平面上已知直线的已知一侧．注要求角可移，且在所设条件下移法唯一． （角的合同关系的反身性）（条件存在公理）． 对于△和△，若，，，则．注把线段合同及角合同两个概
3、念联系起来．补充推论在的条件下，不仅，而且．课堂练习.提示用.推论4（线段移置的唯一性） 中的是唯一的．10证明若将移到以为原点的指定射线上,得到不同的两点和,则,.故,(推论2),从而().取点不在直线上,则()且(推论1).于是,().又因(),这与矛盾.故.2 有关两角及两三角形的合同定理补充定义三角形的一边所对的角指该边所在的直线不经过的那个顶点所对应的角．若在中，或或，则称为等腰三角形．设，则称边、为腰，为顶角，、称为底角．定理16若在中，，则和所对的角也合同：（即：等腰三角形的底角合同）．课堂练习.提示考查和,其中,,.用和.定义13合同于(记为)指下面
4、六式成立：，，，，，．定理17（三角形合同的边角边定理．简记为s.a.s.） 在和中，，，，则．课堂练习.提示在上取点,使().把用于和,证明(),从而.定理18（三角形合同的角边角定理．简记为a.s.a.） 在和中，，，，则．课堂练习.提示仿定理17的证法,在上取点,使.10定理19（加、减角定理）设两组射线、、和、、分别共原点、共平面，且，，于是（1）若且，则（加角定理）；（2）若且、在所在直线的同侧，则且（减角定理）．定理20若点、在直线的异侧，，，则．定理21（三角形合同的三边定理．简记为s.s.s.）在和中，若，，，则．定理22若，， 则 (并非传递性)
5、．课堂练习.提示在、、的一边上各取一点、、,使,.又在此三个角的另一边上依次各取点、、,使,,于是,从而.推论（角合同关系的对称性）若，则．课堂练习.提示用和定理22.10补充推论（角合同关系的传递性） 若， 则．课堂练习.提示用角合同关系的对称性和定理22.补充推论角合同关系是等价关系．补充推论三角形的合同关系是等价关系．定义14若两个角共顶点、共一边，且不公共的两边互为补射线，则这两角互称为邻补角．若一角的两边分别是另一角的两边的补射线，则这两角互称为对顶角．定理23若二角合同，则其邻补角亦然．推论对顶角合同．3 线段的比较和角的比较定理24（减线定理） 若，点
6、和在直线上点的同侧，且，，则，且．课堂练习提示用同一法.在直线上取点,使且.用证明,用§3.1的推论4证明.推论已知线段和.在上取点，使；在上取点，使.则在线段内部在线段外部.课堂练习提示用减线定理.定义15已知线段、.在上取点，使．若，则称小于，记为；若，则称大于，记为．10定理25设、、为任意三条线段，则1；2、、恰有一个成立（线段比较的三分律）；3若或或，则．定理26（减角定理的推论，相当于定理24的推论）已知、，以它们的顶点为原点各作射线、，使，，且、在（所在的直线）的同侧，、在的同侧．若落在内部，则落在的外部．反之亦真．定义16已知和．以的顶点为原点作射线
7、，使，且、在（所在的直线）的同侧．若，则称小于．记为；若，则称大于，记为．定理27（相当于定理25）设、、为任意三个角，则1；2、、恰有一个成立（角的比较的三分律）；3若或或，则．4外角定理、中点定理、直角定理和有关推论定义17三角形的每个角的邻补角均叫做这三角形的外角．10定理28（外角定理）三角形的每个外角都大于其任意一个不相邻的内角．证明在中,欲证外角.若,则(用定理23,其中).在直线上取点,使且().在和中,有().又已证,这与矛盾.若,则有,使且(定义16及定理12).即在中,外角合同于不相邻的内角.对此情形前已引出矛盾.综上,(定理27(2)).推
