2018_2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆2.1.2（第一课时）椭圆的简单几何性质讲义（含解析）

《2018_2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆2.1.2（第一课时）椭圆的简单几何性质讲义（含解析）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第一课时　椭圆的简单几何性质　　　　预习课本P37～41，思考并完成以下问题1．椭圆有哪些几何性质？什么叫做椭圆的中心、顶点、长轴与短轴？　　2．什么是椭圆的离心率？随着离心率的变化椭圆的形状有何变化？　　椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程＋＝1(a＞b＞0)＋＝1(a＞b＞0)范围－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)轴长长轴长＝，短轴长＝焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－

2、c)，F2(0，c)焦距

3、F1F2

4、＝对称性对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0)离心率e＝(0b>0)的长轴长等于a(　　)(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c(　　)(3)椭圆的离心率e越小，椭圆越圆(　　)答案：(1)×　(2)√　(3)√2．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是(　　)A．5,3，　　　　　　　B．10,6，C．5,3，D．10,6，答案：B3．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是(　　)A

5、.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1答案：D4．若焦点在y轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m的值为________．答案：由标准方程研究几何性质[典例]　求椭圆x2＋9y2＝81的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．[解]　把已知方程化成标准方程为＋＝1，于是a＝9，b＝3，c＝＝6，所以椭圆的长轴长2a＝18，短轴长2b＝6，离心率e＝＝.两个焦点的坐标分别为F1(－6，0)，F2(6，0)，四个顶点的坐标分别为A1(－9,0)，A2(9,0)，B1(0，－3)，B2(0,3)．用标准方程研究几何性质的步骤(1)将椭圆方程化为标准形式；(2)确定焦点位置；(3

6、)求出a，b，c；(4)写出椭圆的几何性质．[注意]　长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍．　　　　[活学活用]已知椭圆C1：＋＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；(2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质．解：(1)由椭圆C1：＋＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6,0)，(－6,0)，离心率e＝；(2)椭圆C2：＋＝1，性质：①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；②对称性：关于x轴、y轴、原点对称；③顶点：长轴端点(0,10)，(

7、0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)；④焦点：(0,6)，(0，－6)；⑤离心率：e＝.利用几何性质求标准方程[典例]　求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)长轴长是10，离心率是；(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.[解]　(1)设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)．由已知得2a＝10，a＝5.又∵e＝＝，∴c＝4.∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.∴椭圆方程为＋＝1或＋＝1.(2)依题意可设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．如图所示，△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且

8、O

9、F

10、＝c，

11、A1A2

12、＝2b，则c＝b＝3，a2＝b2＋c2＝18，故所求椭圆的方程为＋＝1.利用椭圆的几何性质求标准方程的思路利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：(1)确定焦点位置；(2)设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；(3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数．列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝等．　　　　　　[活学活用]求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)长轴长与短轴长的和为18，焦距为6；(2)过点(3,0)，离心率e＝；(3)过点M(1,2)，且与椭圆

13、＋＝1有相同离心率．解：(1)设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，由题意可知解得a＝5，b＝4.因为不确定焦点在哪个坐标轴上，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.(2)当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，由题意，得a＝3，因为e＝，所以c＝，从而b2＝a2－c2＝3，所以椭圆的标准方程为＋＝1；当椭圆的焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，由题意，得b＝3，因为e＝，所以＝，把b＝3代入，得a2＝27，所以椭圆的标准方程为＋＝1.综上可知，所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.(3)设所求椭圆方程为＋＝