《1.3.2圆的内接四边形的性质与判定》教学案1

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1、《1.3.2圆的内接四边形的性质与判定》教学案教学目标(一)知识目标(1)了解圆内接多边形和多边形外接圆的概念；(2)掌握圆内接四边形的概念及其性质定理；(3)熟练运用圆内接四边形的性质进行计算和证明．(二)能力目标(1)通过圆的特殊内接四边形到圆的一般内接四边形的性质的探究，培养学生观察、分析、概括的能力；(2)通过定理的证明探讨过程，促进学生的发散思维；(3)通过定理的应用，进一步提高学生的应用能力和思维能力．(三)情感目标(1)充分发挥学生的主体作用，激发学生的探究的热情；(2)渗透教学内容中普遍存在的相互联系、相互转化的观点．教学重、难点重点：圆内接四边形的性质定理．难点

2、：定理的灵活运用．教学过程(一)基本概念如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆．如图中的四边形ABCD叫做⊙O的内接四边形，而⊙O叫做四边形ABCD的外接圆．(二)创设研究情境问题：一般的圆内接四边形具有什么性质？研究：圆的特殊内接四边形(矩形、正方形、等腰梯形)1、边的性质：(1)矩形：对边相等，对边平行．(2)正方形：对边相等，对边平行，邻边相等．(3)等腰梯形：两腰相等，有一组对边平行．归纳：圆内接四边形的边之间看不出存在什么公同的性质．2、角的关系相邻两内角互补有两组相等的角相对两内角互补矩形是是是正方形是是是等腰

3、梯形不是是是猜想：圆内接四边形的对角互补．(三)证明猜想教师引导学生证明．(参看思路)思路1：在矩形中，外接圆心即为它的对角线的中点，∠A与∠B均为平角∠BOD的一半，在一般的圆内接四边形中，只要把圆心O与一组对顶点B、D分别相连，能得到什么结果呢？思路2：在正方形中，外接圆心即为它的对角线的交点．把圆心与各顶点相连，与各边所成的角均方45°的角．在一般的圆内接四边形中，把圆心与各顶点相连，能得到什么结果呢？(四)性质及应用定理：圆的内接四边形的对角互补.并且任何一个外角都等于它的内对角．经过上面的讨论，我们得到了圆内接四边形的两条性质.一个自然的想法是，它们的逆命题成立吗？如果

4、成立，就可以得到四边形存在外接圆的判定定理.假设：四边形ABCD中，∠B+∠D=180°.求证：A、B、C、D在同一圆周上(简称四点共圆).分析：在不同一直线上的三点确定一个圆.经过A、B、C三点作圆O.如果能够由条件得到圆O过点D，那么就证明了命题.显然，圆O与点D有且只有三种关系：(1)点D在圆外；(2)点D在圆内；(3)点D在圆上.只要证明在假设条件下只有(3)成立，也就证明了命题.老师引导学生完成证明.可得：圆内接四边形判定定理如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆.在圆内接四边形判定定理的证明中，我们用分类思想对点D与A、B、C三点确定的圆的位置关系进行

5、探讨，在每一种情形中都运用了反证法.当问题存在多种情形时，通过对每一种情形分别论证，最后获证结论的方法，称为穷举法.(五)例题解析例1如图，圆⊙O和⊙O1相交于A，B两点，经过点A，B的直线EF，MN与两圆分别相交于E，F；M，N.求证：EF//FN.证明：连接AB.因为四边形ABEM是⊙O的内接四边形，所以∠ABF=∠M.又因为四边形ABFN是⊙O1内接四边形，所以∠ABF+∠N=180°.所以EF//FN.例2如图，四边形ABCD内接于⊙O，过A作⊙O的切线交CB的延长线于P，已知∠EAD=∠PCA.求证：DA2=CD×BP.证明：因为EP是⊙O的切线，所以所以∠EAD=∠D

6、CA，∠PAB=∠PCA.又因为∠EAD=∠PCA，所以∠DCA=∠PAB=∠PCA，所以AD=AB.又因为圆内接四边形ABCD，所以∠PBA=∠D，所以△DCA与△BAP相似，因此因为AD=AB，所以DA2=CD×BP.例3如果两个三角形有一条公共边，这条边所对的角相等，并且造公共边的同侧，那么这两个三角形有公共的外接圆.已知：如图，∠C，∠D在AB同侧，∠C=∠D.求证：△ABC和△ABD有公共的外接圆.证明：如图，作△ABC的外接圆⊙O，在⊙O的弧AB上取点E，是E与C在AB的两侧.因为A，E，B，C四点共圆，所以∠ACB+∠AEB=180°.又已知∠ACB=∠ADB，所以

7、∠ADB+∠AEB=180°.因此A，E，B，D四点共圆.因为过不共线的三点A，E，B只有一个圆，即⊙O，所以A，B，C，D四点共圆.即△ABC和△ABD有公共的外接圆.(六)课堂小结回顾总结本课学习了哪些知识？