《2.2.2双曲线的几何性质》教学案1

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1、《2.2.2双曲线的几何性质》教学案教学目标1.掌握双曲线的几何性质；2.能通过双曲线的标准方程确定双曲线的顶点、实虚半轴、焦点、离心率、渐近线方程.教学重点双曲线的几何性质教学难点双曲线的渐近线教学过程复习回顾：师：上一节，我们学习了双曲线的标准方程，这一节，我们要根据它来研究双曲线的几何性质.同学们可以按照研究椭圆几何性质的方法和步骤，自己推出双曲线的几何性质，然后与课文对照，所以，我们来回顾一下研究椭圆的几何性质的方法与步骤.(略)讲授新课：1.范围：双曲线在不等式x≥a与x≤－a所表示的区域内.2.对称性：双曲线关于每个坐标轴和原点都对称，这时，坐标轴

2、是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫双曲线中心.3.顶点：双曲线和它的对称轴有两个交点A1(－a，0)、A2(a，0)，它们叫做双曲线的顶点.线段A1A2叫双曲线的实轴，它的长等于2a，a叫做双曲线的实半轴长；线段B1B2叫双曲线的虚轴，它的长等于2b，b叫做双曲线的虚半轴长.4.渐近线①我们把两条直线y=±叫做双曲线的渐近线；②从图8—16可以看出，双曲线的各支向外延伸时，与直线y=±逐渐接近.③“渐近”的证明：先取双曲线在第一象限内的部分进行证明.这一部分的方程可写为y=>a).设M(x，y)是它上面的点，N(x，y)是直线y=上与

3、M有相同横坐标的点，则Y=.∵y=∴设是点M到直线y=的距离，则<，当x逐渐增大时，逐渐减小，x无限增大，接近于O，也接近于O.就是说，双曲线在第一象限的部分从射线ON的下方逐渐接近于射线ON.在其他象限内，也可证明类似的情况.(上述内容用幻灯片给出).④等轴双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.⑤利用双曲线的渐近线，可以帮助我们较准确地画出双曲线的草图.具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限内从渐近线的下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双

4、曲线.5.离心率：双曲线的焦距与实轴长的比e=，叫双曲线的离心率.说明：①由c>a>0可得e>1；②双曲线的离心率越大，它的开口越阔.师：为使大家进一步熟悉双曲线的几何性质，我们来看下面的例题.例1已知双曲线的焦点在x轴上，中心在原点，如果焦距为8，实轴长为6，求此双曲线的标准方程及其渐近线的方程，并画出它的图形.解：由已知可得2c=8，2a=6，所以c=4，a=3，b2=c2-a2=42-32=7.又此双曲线的焦点在x轴上，因此所求的双曲线标准方程为渐近线方程是画图：(1)在x轴上取A1(-3，0)，A2(3，0)，在y轴上取点作矩形ABCD使它的四边分别过

5、点A1，A2，B1，B2，且与y轴或x轴平行；再作直线AC和BD，则它们是双曲线的渐近线.(2)求出双曲线上一些点的坐标.列表如下：x341567…y02.31.893.54.65.6…(3)描点连线，并使曲线与渐近线接近，得到双曲线在第一象限的图形，然后利用对称性画出整个双曲线.例2求双曲线的实半轴长，虚半轴长，焦点坐标，离心率.渐近线方程.解：把方程化为标准方程：由此可知，实半轴长a=3，虚半轴长b=4.半焦距因此，实轴长2a=6，虚轴长2b=8；顶点坐标是(-3，0)，(3，0)；焦点坐标是(-5，0)，(5，0)；渐近线方程为例3双曲线型冷却塔的外形，

6、是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高为55m，试选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程(精确到1m).解：如图，建立直角坐标系xoy，使小圆的直径AA＇在x轴上，圆心与原点重合，设双曲线的方程为令C的坐标为(13，y)，则B的坐标为(25，y-55)将B、C坐标代入方程得由方程②，得(负值舍去)代入方程①得，化简得用计算器解得b≈25所以，所求双曲线的方程为.练习：1．双曲线－＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率为(　　)A．2B.C.D.2．双曲线－＝1的一个焦点到一条渐近线的距离等于(

7、　　)A.B．3C．4D．23．双曲线＋＝1的离心率e∈(1，2)，则b的取值范围是________．4．椭圆＋＝1与双曲线－y2＝1焦点相同，则a＝________.5．双曲线－＝1的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝r2(r>0)相切，则r＝________.6．已知动圆与⊙C1：(x＋3)2＋y2＝9外切，且与⊙C2：(x－3)2＋y2＝1内切，求动圆圆心M的轨迹方程．课堂小结：