《2.2.2双曲线的几何性质》教学案2

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1、《2.2.2双曲线的几何性质》教学案教学目标：1、掌握双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质；2、明确a、b、c的几何意义；3、能解决一些简单的双曲线问题.教学重、难点：双曲线的简单几何性质及其简单应用，对离心率的理解.教学过程：一、问题情景导入1.前面我们研究了椭圆的哪些几何性质？2.类比椭圆几何性质的研究方法，怎样根据双曲线的标准方程研究它的几何性质？二、新知讲解1.范围：双曲线在不等式x≥a与x≤－a所表示的区域内.2.对称性：双曲线关于每个坐标轴和原点都对称，这时，坐标轴是双曲线的

2、对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫双曲线中心.3.顶点：双曲线和它的对称轴有两个交点A1(－a，0)、A2(a，0)，它们叫做双曲线的顶点.线段A1A2叫双曲线的实轴，它的长等于2a，a叫做双曲线的实半轴长；线段B1B2叫双曲线的虚轴，它的长等于2b，b叫做双曲线的虚半轴长.4.渐近线①我们把两条直线y=±叫做双曲线的渐近线；②从图8—16可以看出，双曲线的各支向外延伸时，与直线y=±逐渐接近.③“渐近”的证明：先取双曲线在第一象限内的部分进行证明.这一部分的方程可写为y=>a).设M(

3、x，y)是它上面的点，N(x，y)是直线y=上与M有相同横坐标的点，则Y=.∵y=∴设是点M到直线y=的距离，则<，当x逐渐增大时，逐渐减小，x无限增大，接近于O，也接近于O.就是说，双曲线在第一象限的部分从射线ON的下方逐渐接近于射线ON.在其他象限内，也可证明类似的情况.(上述内容用幻灯片给出).④等轴双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.⑤利用双曲线的渐近线，可以帮助我们较准确地画出双曲线的草图.具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据

4、双曲线在第一象限内从渐近线的下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线.5.离心率：双曲线的焦距与实轴长的比e=，叫双曲线的离心率.说明：①由c>a>0可得e>1；②双曲线的离心率越大，它的开口越阔.师：为使大家进一步熟悉双曲线的几何性质，我们来看下面的例题.例1求双曲线9y2－16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.解：把方程化为标准方程..由此可知，实半轴长a=4，虚半轴长b=3..焦点的坐标是(0，－5)，(0，5).离心率.渐近

5、线方程为，即.三、课后巩固提高本堂小结：四、作业1求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)顶点在x轴，两顶点的距离为8，离心率是；(2)离心率e＝，且过点(4，)．2．求双曲线3x2－y2＝3的渐近线方程；3.渐近线方程为y＝±x，经过点M的双曲线方程．4.求焦点为(0，－6)，(0，6)，且经过点(2，－5)的双曲线的离心率、标准方程及顶点坐标．5．适合下列条件的双曲线标准方程(1)虚轴长为12，离心率为；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x.