53双因素方差分析

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1、§5.3双因素方差分析I无交互作用的双因素方差分析(1)数学模型现在考虑影响试验指标的因素有两个：A,B。因素A有水平r个；有水平s个；因素A,B的各种组合水平均只作一次试验；两因素之间无交互作用。数据结构表因素B因素A假设：(1*)独立；(2*)，即具有相同的方差；(3*)，其中，且独立；数学模型：，其中：—总平均值；;;—因素A在水平Ai下对试验指标的效应值；—因素B在水平Bj下对试验指标的效应值；;;—因素A,B的交互效应值；—随机部分，假定：独立同正态分布；注：“无交互作用”等价于：，即；(2)方差分析(i)假设检验问题两种因素分别进行检验：即因素

2、A对试验指标影响不显著；即因素B对试验指标影响不显著；注：当和成立时，.(ii)构造F-统计量及否定域设；；；；；；；注：注意，.这里利用了“无交互效应”的假设条件：.由此可见，与及无关，即与假设和是否成立无关。“无交互效应”的假设条件就是这里提出来的！！*引理：设，则(1*)分解式：；(2*)独立性：{，，}是两两独立的，且+与独立；(3*)统计特性：当和同时成立时，有；当成立时，有；当成立时，有；对任意情形，有.注：是的一个无偏估计.证.易见,此式中的三个混合项均为零.故(1*)成立.独立性(2*)的证明如下：注意，；.（**）而这两个等式的成立只要展

3、开即知.于是，与独立；与独立；从而，与独立；故与独立；同理，可证：与独立；按抽样分布定理，与和均独立，而与独立是假设条件的结果.故与独立；显然，+与独立.结论(3*)是抽样分布定理和结论(2*)的推论.*构造F-统计量如下：，当成立时；，当成立时；注：上面的分析表明：对假设和可以分别进行检验。*否定域的结构解释:当时，应接近零；当时，应接近零；按此解释，和的否定域结构形式为：；；为了决定a,b,构作方程：；；由此即可决定a,b.(iii)方差分析表无交互效应的双因素方差分析表误差源平方和自由度均方差F-值临界值因素Ar-1因素Bs-1误差(r-1)(s-1

4、)总误差rs-1在进行判决时，首先选取，然后由下列方程确定临界值a和b：；.最后进行判决：若，则拒绝；否则，接受；若，则拒绝；否则，接受；例5.3.1(p.164)此题的数据表为产品合格率B1(现用量)B2(增加5%)B3(增加8%)A1(甲地)A2(乙地)A3(丙地)596361707466667071因素A={A1,A2,A3};因素B={B1,B2,B3},即每个因素三个水平。试问：每个水平组合各作一次试验，要求分析两个因素对产品合格率的影响是否显著？练习题(p.188)：3；II有交互作用的双因素方差分析(1)数据结构表有交互作用的双因素方差分析数

5、据结构表因素B因素A在这个数据表中，水平的每个组合都有n个观测值.(2)数学模型(1*)假设：独立;；注：都有相同的方差.(2*)模型；其中，，独立；；，；，；，，；(3*)解释：反映因素A的水平Ai对试验指标的影响效应；反映因素B的水平Bj对试验指标的影响效应；反映组合对试验指标的交互效应.(3)假设检验问题这里，要求检验三个内容，因此，有三个假设：(4)检验统计量的设计按数学模型，有(1*)误差；；；；；其中，；；；.(2*)基本结论(i)误差的分解式：；(ii)误差之间的独立性：在任何情况下，是两两独立的,与独立；(iii)误差的统计特性：当，，成立

6、时，；当成立时，；当成立时，；当成立时，；在任何情况下，.（证明方法类似于无交互作用的情形）(3*)设计F-检验统计量当成立时，；当成立时，；当成立时，.(4*)否定域的结构形式跟无交互效应情形的设计一样；(5)方差分析表(重复观测n次的情形)有交互效应的双因素方差分析表误差源平方和自由度均方差F-值临界值因素Ar-1因素Bs-1交互(r-1)(s-1)误差rs(n-1)总误差rsn-1在进行判决时，首先选取，然后由下列方程确定临界值a，b，c：；；.注：(1*)当重复试验次数时，不能考虑“有交互效应的双因素”方差分析问题.(2*)双因素方差分析的统一数学

7、模型应该以有交互效应的模型为准.(3*)如果为常数，即，则相应的。这表明：如果同分布，问题就是：无交互效应；否则就是：有交互效应.例5.3.2(p.167)；练习题(p.188)：4.