数论题综合训练1.doc

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1、数论题综合训练（一）1.设求函数：的值域，其中[x]表示不超过x的最大整数。2.（中国西部,2001）设n,m是具有不同奇偶的正整数，且。求所有的整数x，使得是一个完全平方数。3.（IMO预选，42）考虑方程组，求最大的常数m，使得对于方程组的任意整数（x,y,z,u），当。5.（IMO预选，42）设是一个素数。证明：存在一个整数a，使得都不能被整除，其中。6.（IMO预选，41）求所有正整数，满足对所有与n互素的整数a和b，。7.（IMO预选，41）求所有三元正整数对（a,m,n）使得整除。8.（保加利

2、亚冬，2002）已知序列均不能表示为整数的三次幂。9.（保加利亚春，2002）求所有有16个因数的正整数，且所有因数的和等于4032。10.（保加利亚，2002春）求所有正整数n，则成立。11.（伊朗，19届）正整数p,q,r,a满足，且r是一素数，p，q互素。证明p,q中有一个是完全平方数？（2）是否存在素数p，使得是完全平方数。12.（捷克斯洛伐克，51届）解方程，其中表示最接近整数n的5的倍数，x,y为整数。13.（克罗地亚，2002）已知，证明对任意正整数m,都有m,f(m),f(f(m)),f(

3、f(f(m)))，…两两互素。14.设n是正整数，且。（1）试求出最大的正整数k，使得存在各边长都不是大于n的正整数，且任意两边之差（大减小）都不小于k的三角形。（2）试求出所有的正整数n(),使得（1）中所述的对应于最大的正整数k的三角形有且只有一个。