数论题综合训练1.doc

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1、数论题综合训练(一)1.设求函数:的值域,其中[x]表示不超过x的最大整数。2.(中国西部,2001)设n,m是具有不同奇偶的正整数,且。求所有的整数x,使得是一个完全平方数。3.(IMO预选,42)考虑方程组,求最大的常数m,使得对于方程组的任意整数(x,y,z,u),当。5.(IMO预选,42)设是一个素数。证明:存在一个整数a,使得都不能被整除,其中。6.(IMO预选,41)求所有正整数,满足对所有与n互素的整数a和b,。7.(IMO预选,41)求所有三元正整数对(a,m,n)使得整除。8.(保加利亚冬,2002)已知序列均不能表示为整数的三次幂。9.(保加利亚春,200

2、2)求所有有16个因数的正整数,且所有因数的和等于4032。10.(保加利亚,2002春)求所有正整数n,则成立。11.(伊朗,19届)正整数p,q,r,a满足,且r是一素数,p,q互素。证明p,q中有一个是完全平方数?(2)是否存在素数p,使得是完全平方数。12.(捷克斯洛伐克,51届)解方程,其中表示最接近整数n的5的倍数,x,y为整数。13.(克罗地亚,2002)已知,证明对任意正整数m,都有m,f(m),f(f(m)),f(f(f(m))),…两两互素。14.设n是正整数,且。(1)试求出最大的正整数k,使得存在各边长都不是大于n的正整数,且任意两边之差(大减小)都不小

3、于k的三角形。(2)试求出所有的正整数n(),使得(1)中所述的对应于最大的正整数k的三角形有且只有一个。

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