2020版高考数学一轮复习第12章选修4系列第4讲证明不等式的基本方法讲义理（含解析）

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1、第4讲　证明不等式的基本方法[考纲解读]　了解不等式证明的基本方法：比较法、综合法、分析法，并能应用它们证明一些简单的不等式．(重点、难点)[考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲是高考命题的一个热点.预测2020年将会考查：①与基本不等式结合证明不等式；②与恒成立、探索性问题结合，题型为解答题，属中档题型.1．基本不等式定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．定理2：如果a，b>0，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立，即两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数．定理3：如果

2、a，b，c∈R＋，那么≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．2．比较法3．综合法与分析法(1)综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立．(2)分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义，公理或已证明的定理，性质等)，从而得出要证的命题成立．1．概念辨析(1)设x＝a＋2b，S＝a＋b2＋1则S≥x.(　　)(2)若>1，则x＋2y>x－y.(　　)(3)

3、a＋b

4、＋

5、a－b

6、≥

7、2a

8、.(　　)(4)若实数x，y适

9、合不等式xy>1，x＋y>－2，则x>0，y>0.(　　)答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√2．小题热身(1)下列四个不等式：①logx10＋lgx≥2(x>1)；②

10、a－b

11、<

12、a

13、＋

14、b

15、；③≥2(ab≠0)；④

16、x－1

17、＋

18、x－2

19、≥1，其中恒成立的个数是(　　)A．1B．2C．3D．4答案　C解析　logx10＋lgx＝＋lgx≥2(x>1)，①正确．ab≤0时，

20、a－b

21、＝

22、a

23、＋

24、b

25、，②不正确；因为ab≠0，与同号，所以＝＋≥2，③正确；由

26、x－1

27、＋

28、x－2

29、的几何意义知，

30、x－1

31、＋

32、x－2

33、≥1恒成

34、立，④正确，综上①③④正确．故选C.(2)已知a，b是不相等的正数，x＝，y＝，z＝(ab)0.25，则x，y，z的大小关系是(　　)A．x>y>zB．xx>zD．yz2，y2－x2＝＝>0，∴y2>x2>z2，又x>0，y>0，z>0，∴y>x>z.(3)设x＝a2b2＋5，y＝2ab－a2－4a，若x>y，则实数a，b应满足的条件为________．答案　ab≠1或a≠－2解析　因为x－y＝(a2b2＋5)－(2ab－a2－4a)＝(a2b2－2a

35、b＋1)＋(a2＋4a＋4)＝(ab－1)2＋(a＋2)2>0，若x>y，则实数a，b应满足的条件为ab≠1或a≠－2.题型　比较法证明不等式1．设函数f(x)＝

36、x－2

37、＋2x－3，记f(x)≤－1的解集为M.(1)求M；(2)当x∈M时，证明：x[f(x)]2≤x2f(x)．解　(1)由已知，得f(x)＝当x≤2时，由f(x)＝x－1≤－1，解得x≤0，此时x≤0；当x>2时，由f(x)＝3x－5≤－1，解得x≤，显然不成立．故f(x)≤－1的解集为M＝{x

38、x≤0}．(2)证明：当x∈M时，f(x)＝x－1，于是x[f(x

39、)]2－x2f(x)＝x(x－1)2－x2(x－1)＝－x2＋x＝－2＋.令g(x)＝－2＋，则函数g(x)在(－∞，0]上是增函数，∴g(x)≤g(0)＝0.x[f(x)]2－x2f(x)≤0，故x[f(x)]2≤x2f(x)．2．(2018·吉林长春模拟)(1)如果关于x的不等式

40、x＋1

41、＋

42、x－5

43、≤m的解集不是空集，求实数m的取值范围；(2)若a，b均为正数，求证：aabb≥abba.解　(1)令y＝

44、x＋1

45、＋

46、x－5

47、＝可知

48、x＋1

49、＋

50、x－5

51、≥6，故要使不等式

52、x＋1

53、＋

54、x－5

55、≤m的解集不是空集，有m≥6.(

56、2)证明：由a，b均为正数，则要证aabb≥abba，只要证aa－bbb－a≥1，整理得a－b≥1.当a≥b时，a－b≥0，可得a－b≥1；当a1.可知a，b均为正数时，a－b≥1，当且仅当a＝b时等号成立，从而aabb≥abba成立．1．作差比较法(1)作差比较法证明不等式的四步骤(2)作差比较法的应用范围当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时，一般使用作差比较法．2．作商比较法(1)作商比较法证明不等式的一般步骤(2)作商比较法的应用范围当被证的不等式两边含有幂式或指数式或乘积式时，一般使

57、用作商比较法．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　已知函数f(x)＝

58、x－1

59、＋

60、x＋1

61、，P为不等式f(x)>4的解集．(1)求P；(2)证明：当m，n∈P时，

62、mn＋4

63、>2

64、m＋n

65、.解　(1)f(x)＝

66、x－1

67、＋

68、x＋1

69、＝由f(x)的单调性及f(x