2020版高考数学一轮复习第12章选修4系列第2讲参数方程讲义理（含解析）

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1、第2讲　参数方程[考纲解读]　了解参数方程及参数的意义，掌握直线、圆及椭圆的参数方程，并能利用参数方程解决问题．(重点、难点)[考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个必考点.预测2020年将会考查：参数方程与普通方程的互化及直线与椭圆参数方程的应用.1．曲线的参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数，并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数

2、，简称参数．2．常见曲线的参数方程和普通方程提醒：直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且几何意义为：

3、t

4、是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离．1．概念辨析(1)直线(t为参数)的倾斜角α为30°.(　　)(2)过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．参数t的几何意义表示：直线l上以定点M0为起点，任一点M(x，y)为终点的有向线段的数量．(　　)(3)方程表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆．(　　)(4)已知椭圆的参数方程(t为参

5、数)，点M在椭圆上，对应参数t＝，点O为原点，则直线OM的斜率为.(　　)答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2．小题热身(1)若直线的参数方程为(t为参数)，则直线的斜率为________．答案　－解析　因为所以3x＋2y＝7，此直线的斜率为－.(2)椭圆(θ为参数)的离心率为________．答案　解析　将消去参数θ，得椭圆＋＝1.所以a2＝25，b2＝9，c2＝a2－b2＝16，所以a＝5，b＝3，c＝4，所以离心率e＝＝.(3)曲线C的参数方程为(θ为

6、参数)，则曲线C的普通方程为________．答案　y＝2－2x2(－1≤x≤1)解析　由(θ为参数)消去参数θ，得y＝2－2x2(－1≤x≤1)．题型　参数方程与普通方程的互化1．求直线(t为参数)与曲线(α为参数)的交点个数．解　将消去参数t得直线x＋y－1＝0；将消去参数α，得圆x2＋y2＝9.又圆心(0,0)到直线x＋y－1＝0的距离d＝<3.因此直线与圆相交，故直线与曲线有2个交点．2．如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x2＋y2－x＝0的参数方程．解　如图，圆的半径为，记圆心为C，连接

7、CP，则∠PCx＝2θ，故xP＝＋cos2θ＝cos2θ，yP＝sin2θ＝sinθcosθ(θ为参数)．所以圆的参数方程为(θ为参数)．条件探究　把举例说明1中“曲线(α为参数)”改为“”其他条件不变，求两条曲线交点的坐标．解　由(sinθ＋cosθ)2＝1＋sin2θ＝2－(1－sin2θ)，得y2＝2－x.又因为x＝1－sin2θ∈[0,2]，所以所求普通方程为y2＝2－x，x∈[0,2]．解方程组得或又因为x∈[0,2]，所以交点坐标为.1．参数方程化为普通方程基本思路是消去参数，常用的消参方法有

8、：①代入消元法；②加减消元法；③恒等式(三角的或代数的)消元法；④平方后再加减消元法等．其中代入消元法、加减消元法一般是利用解方程组的技巧，三角恒等式消元法常利用公式sin2θ＋cos2θ＝1等．2．普通方程化为参数方程(1)选择参数的一般原则曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单；当参数取某一值时，可以唯一确定x，y的值．(2)解题的一般步骤第一步，引入参数，但要选定合适的参数t；第二步，确定参数t与变量x或y的一个关系式x＝f(t)(或y＝φ(t))；第三步，把确定的参数与一个变量的关

9、系式代入普通方程F(x，y)＝0，求得另一关系y＝g(t)(或x＝φ(t))，问题得解．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　在平面直角坐标系xOy中，直线l：(t为参数)，与曲线C：(k为参数)交于A，B两点，求线段AB的长．解　将直线l的参数方程化为普通方程，得4x－3y＝4，将曲线C的参数方程化为普通方程，得y2＝4x，联立方程解得或所以A(4,4)，B或A，B(4,4)．所以AB＝＝.题型　参数方程的应用角度1　利用参数方程解最值问题1．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(θ∈[0,2

10、π])，曲线C2的参数方程为(t为参数)．(1)求曲线C1，C2的普通方程；(2)求曲线C1上一点P到曲线C2的距离的最大值．解　(1)由题意知，曲线C1的普通方程为x2＋＝1，曲线C2的普通方程为x＋y＋2＝0.(2)设点P的坐标为(cosα，3sinα)，则点P到直线C2的距离d＝＝，所以当sin＝1，即α＝时，dmax＝2，即点P到曲线C2的距离的最大值为2.角度2　参数几何意义的应用2．(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标