2020版高考数学一轮复习 第12章 选修4系列 第4讲 课后作业 理（含解析）

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1、第12章选修4系列第4讲A组　基础关1．设不等式

2、2x－1

3、<1的解集为M.(1)求集合M；(2)若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小．解　(1)由

4、2x－1

5、<1，得－1<2x－1<1，解得0

6、00，故ab＋1>a＋b.2．设不等式－2<

7、x－1

8、－

9、x＋2

10、<0的解集为M，a，b∈M.(1)证明：<；(2)比较

11、1－4ab

12、与2

13、a－b

14、的大小，并说明理由．解　(1)证明：记f(x)＝

15、x－1

16、－

17、x＋2

18、＝由－2<

19、－2x－1<0解得－

20、a

21、＋

22、b

23、<×＋×＝.(2)由(1)得a2<，b2<.因为

24、1－4ab

25、2－4

26、a－b

27、2＝(1－8ab＋16a2b2)－4(a2－2ab＋b2)＝(4a2－1)(4b2－1)>0.所以

28、1－4ab

29、2>4

30、a－b

31、2，故

32、1－4ab

33、>2

34、a－b

35、.3．设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：(1)若ab>cd，则＋>＋；(2)＋>＋是

36、a－b

37、<

38、c－d

39、的充要条件．证明　(1)因为(＋)2＝a＋b＋2，(＋)2＝c＋d＋2，由题设知a＋b＝c＋d，ab>cd，得(＋)2>(＋)2.因此＋>＋.(2)①若

40、

41、a－b

42、<

43、c－d

44、，则(a－b)2<(c－d)2，即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd；由(1)得＋>＋，即必要性成立；②若＋>＋，则(＋)2>(＋)2，即a＋b＋2>c＋d＋2.因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd，于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.因此

45、a－b

46、<

47、c－d

48、，即充分性成立．综上，＋>＋是

49、a－b

50、<

51、c－d

52、的充要条件．4．已知函数f(x)＝

53、x－1

54、.(1)求不等式f(x)≥3－2

55、x

56、的解集；(2)若函数g(x)＝f(x)＋

57、x＋3

58、的最小值为m，正数a

59、，b满足a＋b＝m，求证：＋≥4.解　(1)当x≥1时，得x－1≥3－2x⇒x≥，∴x≥；当0

60、x－1

61、＋

62、x＋3

63、≥

64、(x－1)－(x＋3)

65、＝4，∴m＝4，即a＋b＝4.由基本不等式得，＋b≥2a，＋a≥2b，两式相加得＋≥2a＋2b，∴＋≥a＋b＝4，当且仅当a＝b＝2时等号成立．B组　能力关1．已知a，b为正实数．(1)求证：＋≥a＋b；(2)利用(1)的结论求函数y＝＋(0

66、(a＋b)＝＝＝.又因为a>0，b>0，所以≥0，当且仅当a＝b时等号成立．所以＋≥a＋b.(2)因为00，由(1)的结论，函数y＝＋≥(1－x)＋x＝1.当且仅当1－x＝x即x＝时等号成立．所以函数y＝＋(0

67、x－1

68、＋

69、x－5

70、.(1)解关于x的不等式f(x)>6；(2)记f(x)的最小值为m，已知实数a，b，c都是正实数，且＋＋＝，求证：a＋2b＋3c≥9.解　(1)f(x)＝

71、x－1

72、＋

73、x－5

74、>6，或或解得x<0或x>6.综上所述，不等式f(x)>6的解集为(－∞

75、，0)∪(6，＋∞)．(2)证明：由f(x)＝

76、x－1

77、＋

78、x－5

79、≥

80、x－1－(x－5)

81、＝4(x＝3时取等号)．∴f(x)min＝4.即m＝4，从而＋＋＝1，a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)＝3＋＋＋≥9.3．设a，b，c为三角形的三边长，求证：(1)1<＋＋<2；(2)(a＋b－c)(b＋c－a)(c＋a－b)≤abc.证明　(1)∵a，b，c为三角形的三边长，∴<<，<<，<<，故1<＋＋<2.(2)设a＝x＋y，b＝y＋z，c＝z＋x(x，y，z>0)，要证明(a＋b－c)(b＋c－a)(c＋a－b)≤abc，只需证8xyz≤(x＋y)(y＋z)(z＋

82、x)，∵x＋y≥2，y＋z≥2，z＋x≥2，∴(x＋y)(y＋z)(z＋x)≥8xyz，即(a＋b－c)(b＋c－a)(c＋a－b)≤abc.