2019年高中数学第4章导数及其应用4.2导数的运算讲义（含解析）湘教版

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1、4．2导数的运算[读教材·填要点]1．求导公式(1)几个幂函数的导数：原函数导函数f(x)＝cf′(x)＝0f(x)＝xf′(x)＝1f(x)＝x2f′(x)＝2xf(x)＝x3f′(x)＝3x2f(x)＝f′(x)＝－f(x)＝f′(x)＝(2)基本初等函数的导数公式：原函数导函数f(x)＝xα(α≠0)f′(x)＝α·xα－1f(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝ax(a＞0且a≠1)f′(x)＝axln_af(x)＝lnx(x＞0)f′(x)＝f(x)＝logax(a＞0且a≠1)f′(x)＝f(x)＝sinxf′(x)＝cos_xf(x)＝cosxf′(x)

2、＝－sin_xf(x)＝tanxf′(x)＝2．求导法则(1)(cf(x))′＝cf′(x)；(2)(f(x)＋g(x))′＝f′(x)＋g′(x)，(f(x)－g(x))′＝f′(x)－g′(x)；(3)(f(x)g(x))′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(4)′＝－(f(x)≠0)；(5)′＝(f(x)≠0)；(6)若y＝f(u)，u＝g(x)，则yx′＝yu′·ux′.[小问题·大思维]1．下面的计算过程正确吗？′＝cos＝.提示：不正确．因为sin＝是一个常数，而常数的导数为零，所以′＝0.若函数f(x)＝sinx，则f′＝.2．若f(x)，g(x

3、)都是可导函数，且f(x)≠0，那么下列关系式成立吗？(1)[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)(a，b为常数)；(2)′＝－(a为常数)．提示：由导数的运算法则可知，这两个关系式都正确．3．函数y＝ln(2x＋1)的导函数是什么？提示：y＝ln(2x＋1)是由函数y＝lnu和u＝2x＋1复合而成的，∴yx′＝yu′·ux′＝·(2x＋1)′＝＝.应用导数公式求导数求下列函数的导数：(1)y＝10x；(2)y＝lgx－；(3)y＝logx；(4)y＝；(5)y＝2－1.[自主解答]　(1)y′＝(10x)′＝10xln10.(2)y′＝′＝(lgx

4、)′－′＝＋.(3)y′＝(logx)′＝＝－.(4)y′＝()′＝(x)′＝x－＝.(5)∵y＝2－1＝sin2＋2sincos＋cos2－1＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx.求简单函数的导函数有两种基本方法(1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．1．求下列函数的导数：(1)y＝x；(2)y＝x；(3)y＝lg5；(4)y＝3lg；(5)y＝2cos2－1.解：(1)y′＝′＝xln＝－＝－e－x.(2)y′＝′＝xln＝＝－1

5、0－xln10.(3)∵y＝lg5是常数函数，∴y′＝(lg5)′＝0.(4)∵y＝3lg＝lgx，∴y′＝(lgx)′＝.(5)∵y＝2cos2－1＝cosx，∴y′＝(cosx)′＝－sinx.利用导数运算法则求导数求下列函数的导数．(1)y＝x·tanx；(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；(3)y＝；(4)y＝xsinx－；(5)y＝e3x；(6)y＝5log2(2x＋1)．[自主解答]　(1)y′＝(x·tanx)′＝′＝＝＝.(2)∵(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，∴y′＝[(x＋1)(x＋2)

6、(x＋3)]′＝(x3＋6x2＋11x＋6)′＝3x2＋12x＋11.(3)y′＝＝.(4)y′＝(xsinx)′－′＝sinx＋xcosx－.(5)函数y＝e3x可以看成函数y＝eu和函数u＝3x的复合函数．∴yx′＝yu′·ux′＝(eu)′·(3x)′＝3eu＝3e3x.(6)函数y＝5log2(2x＋1)可以看成函数y＝5log2u和函数u＝2x＋1的复合函数．∴yx′＝yu′·ux′＝5(log2u)′·(2x＋1)′＝＝.(1)利用函数的和、差、积、商的求导法则求函数的导数时，要分清函数的结构，再利用相应的法则进行求导．(2)遇到函数的表达式是乘积形式或是

7、商的形式，有时先将函数表达式展开或化简，然后再求导．(3)对于简单复合函数的求导，其一般步骤为“分解—求导—回代”，即：①弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式；②利用求导法则分层求导；③最终结果要将中间变量换成自变量．注意不要漏掉第③步回代的过程．2．求下列函数的导数：(1)y＝2xcosx－3xlog2x；(2)y＝(2x2＋3)(3x－2)；(3)y＝；(4)y＝；(5)y＝；(6)y＝x·e－x.解：(1)y′＝(2xcosx－3xlog2x)′＝(2x)′cosx＋2x(cosx)′－3[x′log2x＋x(log2x)′]＝2xl